2.1 정식화

2.1.1 지배방정식과 경계조건

본 연구에서는 해저지반내 잔류간극수압의 동적응답을 모델화하기 위하여 McDougal et al. (1989), Cheng et al. (2001) 및 Jeng et al. (2006)과 같이 Biot압밀방정식 (Biot, 1941)을 사용한다. Fig. 1의 선형규칙진행파동장하 해저지반에 대해 정의되는 좌표계에서 균질등방토질에 관한 Biot압밀방정식은 다음과 같이 주어진다 (Biot, 1941).

Fig. 1.

Definition of wave-seabed interaction system.

(1) ∂2P∂x2+∂2P∂z2-ρgn'ζK ∂P∂t=ρgK∂∂t∂ξ∂x+∂χ∂z

여기서, x와 z는 수평과 연직좌표, P는 정수압을 기준으로 파동으로 인한 간극수압, K는 흙의 투수계수, ρ는 간극수의 밀도, g는 중력가속도, n'는 흙의 간극률, t는 시간, ζ는 간극수의 압축률로 포화도와 겉보기체적탄성계수와 관련되며, ξ와는 각각 χ와 z방향의 지반변위이다.

유효응력개념과 Hooke법칙으로부터 다음의 평형방정식이 얻어진다.

(2) G∇2ξ+G1-2μ ∂∂χ∂ξ∂x+∂χ∂z=∂P∂χ

(3) G∇2χ+G1-2μ∂∂Z∂ξ∂x+∂χ∂z=∂P∂z

여기서, G는 흙의 전단탄성계수, μ는 흙의 Poisson비이다.

해저지반내 연직깊이의 함수인 간극수압의 응답에서 연직방향으로는 위상차가 발생되지 않는 것으로 알려 있다 (예로, Yamamoto et al., 1978). 따라서, 일정수심상에서 선형규칙진행파만이 존재하는 경우 진동간극수압을 한 주기에 걸쳐 평균하면 0으로 주어지고, 간극수압에서 잔류성분만이 존재하게 된다. 해저지반내 잔류간극수압은 수평위치와 관련된 시간의 위상차를 제외하면 동일한 연직깊이인 다른 수평위치에서 동일하므로 해저지반내 잔류간극수압의 변동은 일정수심상의 선형규칙진행파에 한정하면 1차원문제로 고려될 수 있고, 따라서 식 (1)~(3)은 다음과 같이 주어진다.

(4) ρgn'ζK∂P∂t+ρgK∂2χ∂t∂z=∂2P∂z2

(5) 2G1-μ1-2μ∂2χ∂z2=∂P∂z

식 (4)와 (5)으로부터 χ를 소거한 결과식을 z에 관하여 적분하면 다음의 식이 도출된다.

(6) ∂P∂t=cv∂2P∂z2+s

식 (6)이 통상 지진압밀방정식으로 불리며, s는 적분상수로 후술하는 잔류간극수압의 원천항 (source term)과 연관되고, c_v는 압밀계수로 다음과 같이 주어진다.

(7) cv=GKρg2(1-μ)1-2μ+2n'ζG(1-μ)

다음으로, 식 (6)을 파의 한 주기 T─ 에 걸쳐 시간평균하면 잔류간극수압에 대한 다음과 같은 지배방정식이 얻어진다.

(8) ∂u∂t=cv∂2u∂z2+f

여기서, u는 잔류간극수압, f는 잔류간극수압의 원천항으로, 각각 다음과 같이 각각 정의된다.

(9) u=1T-∫tt+T-Pdt

(10) f=1T-∫tt+T-sdt

간극수압의 축적, 즉 잔류간극수압의 거동에 대한 해석해를 도출하는 문제는 식 (8)의 해석해를 유도하는 것으로 귀착되고, 따라서 다음과 같은 경계 및 초기조건을 부과할 수 있다 (McDougal et al., 1989).

(11) u0, t=0

(12) ∂u(h, t)∂z=0

(13) uz, 0=0

여기서, h는 해저면상에서 해저지반하의 불투수층까지 지반 두께를 나타내며, 식 (11)과 (12)는 각각 해저면상 z = 0에서 잔류간극수압이 0이고, 의 불투수층을 통한 흐름이 없다는 것을 의미하며, 식 (13)은 초기조건으로 잔류간극수압의 초기분포가 0이라는 것을 나타낸다.

2.2 해석해의 유도

유한두께를 갖는 해저지반에 대해 경계치문제는 식 (8)과 식 (11)~식 (13)으로 주어진다. 잔류간극수압의 원천항은 시간과는 무관한 항이기 때문에 잔류간극수압 u를 시간과 무관한 항 u₁ 과 시간의 함수인 항 u₂ 와의 합으로 다음과 같이 나타낸다.

식 (18)을 고려하면 경계치문제에 관한 식 (8)과 식 (11)~식 (13)은 다음과 같이 재구성된다.

3.1 검증

Fig. 2는 Table 1에 나타내는 파랑조건과 지반물성치를 적용하여 무한시간에서 Cheng et al. (2001)의 수치해와 해석해 및 본 해석해의 결과를 비교한 것이다. 여기서, Fig. 2(a)는 h/L<1/20의 조건을 만족하는 얕은 두께의 토층, (b)는 1/20<h/L <1/2의 조건을 만족하는 유한두께의 토층, (c)는 h/L>1/2의 조건을 만족하는 깊은 두께의 토층에 대한 결과로 각각은 유한두께의 토층에 대해 전개된 해석해에 각 토층의 조건을 적용하여 산정한 것이며, 따라서 본 연구에서 제시하는 얕은 및 무한 (깊은) 토층에 대한 해석해의 식 (33)과 (48)로부터 추정된 결과가 아니다. 여기서, Cheng et al. (2001)은 유한두께의 토층에 대해서만 해석해와 수치해를 제시하고 있고, 본 연구와 같은 얕은 및 무한 (깊은) 토층에 대한 해석해를 제시하고 있지 않다. 그림으로부터 모든 두께의 토층에서 해저지반내 연직깊이가 깊어질수록 잔류간극수압이 증가하고, 해저불투수층에서 잔류간극수압의 기울기가 0으로 주어지며, 셋 해석결과에서 연직깊이의 변화에 따른 잔류간극수압의 변화특성이 완전히 일치하므로 본 해석해의 타당성을 검증할 수 있다.

Fig. 2.

Comparison of analytical and numerical solutions of residual pore-water pressure.

Table 1.

Wave and soil conditions

다음의 Fig. 3은 Table 2에서 제시된 계산조건으로 수행된 무한시간에서 Jeng et al. (2006)과 본 연구의 해석해에 의한 결과 및 Clukey et al. (1983)에 의한 실험결과를 각각 비교한 것이며, 토층의 두께가 0.2<h/L <0.3의 범위에 있으므로 두 해석해에서는 유한두께의 토층에 대한 결과식이 각각 적용되었다. Jeng et al. (2006)과 본 연구에서 제시한 유한두께의 토층에 관한 해석해의 결과가 동일하므로 그림으로부터 두 해석해의 결과가 거의 동일하다는 것을 알 수 있다. 그리고, 실험결과와 비교하면 해저지반내 연직깊이가 깊어질수록 잔류간극수압이 증가하는 경향은 일치하지만, Fig. 3(a)의 경우는 (b)보다 해석해에 의한 결과와 실험결과에서 차이가 다소 크고, 전체적으로 실험치가 크게 나타나는 것을 알 수 있다. 이것은 Fig. 3(a)의 파형경사가 더 크며, 따라서 파의 비선형성에 더 큰 영향을 받은 것으로 추정된다. 또한, 지반의 비등방성과 소성거동 및 지반내 간극수의 non-Darcy 흐름 등을 고려하면 본 해석해의 유도과정에서 도입된 이론의 범주내에서는 합리적인 일치성을 나타내는 것으로 판단된다.

Fig. 3.

Comparison of analytical and experimental solutions of residual pore-water pressure.

Table 2.

Wave and soil conditions

3.2 얕은 두께

Table 1의 조건을 사용하여 본 유한두께에 관한 식 (28)과 얕은 두께에 관한 (33)으로부터 산정된 결과를 각각 Fig. 4(a)와 4(b)에 도시한다. 그림에서 적용된 지반두께는 각각 h = 3 cm, 5 cm, 7 cm 및 8.8cm의 경우로 모두 h/L <1/20인 얕은 두께의 해저지반 조건에 상당한다. 일반적으로 유한두께에 관한 식 (28)에서 지반두께를 극한적으로 작게 하면 얕은 두께에 관한 식 (33)의 결과로 수렴될 것으로 추정될 수 있으며, 이러한 사실을 Fig. 4로부터 확인할 수 있다. 즉, 그림에서 h = 8.8 cm→7 cm→5 cm→3 cm로 지반두께가 점점 작아질수록 두 결과에서 차이가 점점 줄어들고, h = 3 cm와 5 cm의 경우는 두 결과가 거의 일치한다. 따라서, 유한두께에 관한 식 (28)에서 잔류간극수압의 응답은 지반두께를 작게 하면 점근적으로 극한상태의 (33)에서 잔류간극수압의 응답에 접근된다는 것을 확인할 수 있다. 그리고, Fig. 4(a)와 (b)의 두 결과로부터 해저지반내 연직깊이가 깊을수록, 또한 지반두께가 두꺼울수록 잔류간극수압에 의한 압력수두가 증가한다는 사실을 알 수 있다.

Fig. 4.

Residual pore-water pressure head.

3.3 무한 (깊은)두께

다음에 나타내는 Fig. 5는 유한두께의 해저지반에 관한 식 (28)에 Table 1의 파랑 및 지반조건을 적용하여 잔류간극수압에 의한 압력수두를 도시한 결과이다. 그림에서는 h/L >1/2인 조건을 만족하는 여러 종류의 지반두께를 적용하여 지반두께의 변화에 따른 해석해의 거동을 나타낸다. 여기서, 지반두께가 두꺼워질수록 잔류간극수압에 의한 압력수두가 증가하고, 어떤 연직깊이 이하에서는 균등한 값을 나타내며, 균등한 압력수두가 나타나는 연직깊이는 지반두께가 두꺼워질수록 깊어진다는 것을 알 수 있다.

Fig. 5.

Residual pore-water pressure head by Eq. (28) for finite soil thickness of this study.

한편, 식 (28)에서 Table 1의 조건하 h/L >213 cm의 경우는 해석해가 발산하여 결과가 산정될 수 없으며, 이의 경우는 무한 (깊은)두께의 해저지반에 관한 식 (48)로부터 추정되어야 한다. Table 1의 조건하에 이를 나타낸 것이 Fig. 6의 결과이다. Fig. 6(a)로부터 h =173 cm, 213 cm의 결과가 식 (28)에 의한 Fig. 5의 결과와는 달리 보다 큰 값을 가진다는 것을 알 수 있다. 이로부터 유한두께에 관한 식 (28)로부터 무한두께인 (48)으로의 점근적인 접속이 불가능하며, 두 식에 의한 결과 사이에 두 식으로부터 얻어질 수 없는 불연속의 어떤 영역이 존재한다는 것을 알 수 있다. 따라서, 무한 (깊은)두께의 해저지반에 관해서는 식 (34)와는 다른 보다 합당한 전단응력으로부터 새로운 추정식이 산정될 필요가 있는 것으로 판단된다. 다음으로, 연직깊이를 차원량으로 나타낸 Fig. 6(b)로부터 지반두께와의 관계없이 동일한 잔류간극수압의 수두가 얻어진다는 것을 확인할 수 있고, 무차원량으로 나타낸 Fig. 6(a)에서 차이를 나타내는 것은 무차원화로 적용되는 지반두께 h의 값이 다르기 때문이다.

Fig. 6.

Residual pore-water pressure head obtained by Eq. (48) for deep soil thickness of this study.

한편, Jeng and Seymour (2007)은 무한두께의 해저지반에서 경계조건식 (12) 대신에 다음과 같은 경계조건을 부과하고 있다.

따라서, 무한지반에 대해 식 (11), (13) 및 식 (49)을 만족하는 식 (8)의 해로 Laplace변환법을 적용하여 다음의 해석해를 제시하고 있다.

여기서, λ = -k/β이고, A는 다음의 식으로 정의된다.

식 (50)에서 t→∞의 경우 우변의 반무한적분항은 0으로 수렴되기 때문에 정상상태의 잔류간극수압은 다음의 식으로 표현될 수 있다.

식 (52)에서 z→∞에서 이므로 e^-λz→0 극한치는 다음의 식으로 나타난다.

여기서, 식 (53)은 Jeng and Seymour (2007)의 경계조건식 (49)를 만족하지 않는 모순점이 나타난다. 한편, 무한 (깊은)두께의 해저지반에 대해 동일한 잔류간극수압의 해석해를 나타내는 Jeng et al. (2006)에서는 식 (49) 대신에 다음의 경계조건을 부과하고 있다.

식 (50)은 (54)의 첫 번째 경계조건을 만족하므로 Jeng and Seymour (2007)에 의한 경계조건식 (49)는 오류로 판단된다.

다음의 Fig. 7에 나타내는 결과는 식 (52)에 나타낸 Jeng and Seymour (2007)의 해석해로부터 진행파의 주기를 파라미터로 산정된 잔류간극수압의 압력수두를 나타내고 있다. 그림으로부터 진행파의 주기 T─ =1.76 s에서 가장 큰 값을 나타내고, 그 이후 주기가 증가하면 역으로 값의 크기가 감소한다. 따라서, 진행파의 주기와 잔류간극수압은 선형관계로 주어지지 않고, 잔류간극수압이 최대로 되는 어떤 주기가 존재한다는 것을 알 수 있다. 다음으로, 진행파 주기 T─ =1.76s로 고정된 본 해석해에 의한 Fig. 6의 결과와 Jeng and Seymour (2007)의 식(52)에 의한 Fig. 7의 결과 중에 진행파 주기 T─ =1.76s의 결과를 비교하면 두 결과는 완전히 동일하다는 것을 확인할 수 있다. 따라서, 무한두께의 해저지반에 대해 새롭게 산정된 본 연구의 해석해 식 (47) 및 (48)은 Jeng and Seymour (2007)에 의한 해석해 식 (50) 및 (52)와 동일한 잔류간극수압을 나타낸다. 이로부터 본 연구의 결과는 Jeng et al. (2006)에 의해 지적된 McDougal et al. (1989)에서의 오류를 수정하여 재산정된 해석해인 것으로 판정된다. 여기서, 본 해석해의 식 (47)과 (48)에 포함된 지반두께 h는 계산 과정에서 소거되어 연직깊이에 따른 잔류간극수압의 값에는 영향을 미치지 않는다는 것을 Fig. 6(b)로부터 알 수 있다.

Fig. 7.

Residual pore-water pressure head obtained from Eq. (52) presented by Jeng and Seymour (2007) for deep soil thickness.