2.1 만내설계파의 기본방정식

만내설계파 모델은 Goto(1988), Nakai et al.(1990)에 의해 제안된 파라메타법을 천해역에 적용한 것으로, 유의파법에 의한 파랑 발달을 고려한 에너지평형방정식(Karlsson, 1969)에 기초한다.

특히 유의파 추산을 위해 본 모델에 적용된 Wilson법은 심해역을 그 대상으로 하기 때문에 천해역의 감쇠효과를 고려한 Ijima(1986)식이 보다 타당하다고 생각되지만, Ijima식의 적용시 감쇠항의 영향으로 인해 대상해역에서 실측치보다 과대평가할 수 있으므로 비교적 안전값을 고려하는 Wilson식을 적용하였다. Wilson법에 의한 유의파의 추산식은 다음식과 같다.

여기서, 유의파고, 주기, 취송거리는 해상 10 m 높이의 풍속, 중력가속도를 사용하여 다음과 같이 무차원화 할 수 있다.

만내 발생파에서 파의 전파에 따른 단위시간 당 파랑에너지의 발달은 파랑에너지의 취송거리에 의한 증분을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

식(1)을 이용하여 파랑에너지의 취송거리에 의한 증분을 나타내면 식(4)와 같다.

여기서, H_*^'는 파랑에너지로부터 산정되는 무차원 파라메터이며 취송거리는 파랑에너지(파고)에 의해 표현된다.

식 (3)은 일정한 풍속시에 파랑에너지로부터 파랑의 전파에 따른 에너지 증가율을 추정하는 식이다. 이것을 고정된 좌표계에서의 에너지 평형 방정식으로 표현하면 다음과 같이 된다.

여기서, S는 파랑의 방향 스펙트럼, (x, y)는 수평좌표, θ는 x축으로부터 반시계 회전에 측정한 파향각, ε_b는 에너지 감쇠계수며 특성 속도(v_x, v_y, v_θ)는 다음식과 같다.

(s, n) 파향·파봉에 연관된 좌표, C는 파속, C_g는 군속도, S_in은 식(9)에서 얻어지는 바람에 의한 에너지 유입항이다.

만내발생파 모델의 기본방정식인 에너지평형방정식은 상기와 같이 계산함으로서 굴절, 천수변형, 쇄파 변형의 고려가 가능하며 광역의 파랑 변형 계산 모델로서 많이 이용되고 있으나 파랑의 반사나 회절효과를 고려하지 못하는 문제점이 계속 지적되어 왔다. 따라서 개량된 모델에서는 회절 및 반사각, 수심변화등을 고려할 수 있도록 개선하였다.

2.2 회절효과

본 모델의 기본방정식인 에너지평형방정식은 전술한 바와 같이 위상평균모델로 평균화에 의한 위상정보의 부재로 파랑의 회절효과를 고려할 수 없었지만, 최근에는 위상평균모델에 회절효과를 도입한 연구가 다수 진행되고 있다. 대표적인 연구로 Booij(1997), Revero(1997), Mase(1998)의 연구를 들 수 있다. Booij(1997), Revero(1997)의 방법은 특성속도에 회절의 효과를 음적으로 도입한 것이며, 이에 비해 Mase(1998)의 방법은 특성속도에 양의 형태로 회절항을 도입한 것으로 후자가 비교적 계산이 용이하고 안정된다는 장점이 있다. 따라서, 본 연구에서는 Mase(1998)가 제안한 회절항을 도입하였다. 이 방법은 포물형태 파동 방정식을 기본으로 회절항을 정식화하여 에너지 평형 방정식에 도입한 것이며, 기본적인 포물형태 파동 방정식은 다음과 같다.

식(10)에 A의 공액 복소수를 곱한 것과 전체의 공역 복소수에 A를 곱한 것을 더해, 즉, {식 (10) × A*}+{식 (10)* × A}를 구하면, 식 (11)를 얻을 수 있다.

위의 식이 성립되기 위해서는 다음과 같은 조건이어야 한다.

식 (12)는 에너지의 보존식을 나타내고, 식(13)은 회절에 의한 에너지의 균형을 나타낸다. 파랑 에너지는 E ∝ |A|²이고, 식(10) 및 식(13)의 좌변 제1항은 E로 표현 할 수 있지만, 제2항의 A_y A_y^*은 E로 표현할 수 없다. 여기서, A = a + ib로서 얻을 수 있다. A_y A_y^*의 표시식이 가능한 한 같게 되도록 E_yy/4로 한다. 따라서, 식(13)은 다음 식과 같이 된다.

여기서, 식(12)의 좌변이 식(6)의 좌변과 비교하여 에너지 E를 방향 스펙트럼 S로 간주한다. 그리고, 거의 “0”인 식(14)의 E를 S로서 식(6)의 우변에 더하면 모델의 방정식은 다음과 같다.

여기서, x는 회절항에 관한 영향 계수이다. 포물형태 근사 방정식은 파랑의 전파 방향인 x축방향에 수직인 방향으로 회절 효과를 도입할 수가 있다. 여기에서는 다방향 불규칙파의 성분파 각각에 회절 효과를 도입하려고 하는 것이다. 각각의 성분파의 전파 방향은 x축과는 다르며 그 만큼 cosθ에 대한 계수가 추가된다.

회절항의 효과를 검증하기 위해 기존의 만내설계파 모델과 회절항을 추가로 도입한 개량된 만내설계파 모델을 이용하여 방파제의 상대 개구폭이 B/L = 2와 8인 경우에 대해, 무차원 파고계산을 수행하였으며, 계산결과를 Goda(1975)의 해석치와 비교하였다(Figs. 1, 2). 보다 상세한 비교를 위해 바람에 의한 에너지 증분은 고려하지 않았으며, 회절영향계수 k는 2.5를 적용하였다. Figs. 1과 2에서 확인되는 바와 같이 B/L = 8에서는 회절항의 도입여부와 관계없이 계산결과가 Goda(1975)의 실험결과와 비교적 잘 일치하였지만, B/L = 2에서는 회절계수를 고려한 경우의 실험결과가 Goda(1975)의 실험결과를 보다 정도 높게 재현하고 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 1.

Experiment results of testing Diffraction (B/L = 2).

Fig. 2.

Experiment results of testing Diffraction (B/L = 8).

2.3 반사각의 도입 및 효과 검증

본 모델의 기본방정식인 에너지평형방정식은 전술한 바와 같이 위상평균모델로서 평균화에 따른 위상정보의 상실로 인해 이론적으로 파랑의 반사효과를 고려할 수 없다. 이에 Tomotsuka et al.(1990)은 파랑의 반사항을 도입한 실용적인 에너지 평형방정식을 제안하였다. 본 연구에서는 Tomotsuka et al.(1990)에 제안된 방법을 이용하여 에너지 평형방정식에 파랑의 반사효과를 고려하였다.

계산의 대상영역을 정방격자로 근사시키면, 육상경계나 방파제와 같은 구조물은 격자선으로 얻을 수 있게 된다. 특히 구조물에 작용하는 반사파는 반사조건에 따라 취급을 달리하면 Fig. 3과 4와 같은 2가지 경우로 나타낼 수 있다. Fig. 3 및 4의 사선부를 반사경계면이라고 하면, x축에 수직인 경계면에서 반사된 파랑은 외해측으로 돌아가고, y축에 수직인 경계면에서 반사된 파랑은 해안방향으로 전파되게 된다.

Fig. 3.

Wave reflection on the plane perpendicular x-axis.

Fig. 4.

Wave reflection on the plane perpendicular y-axis.

2.3.2 경사면에서의 반사효과

기존의 방법은 Fig. 5(a)와 같이 계산 격자체계가 직각으로 구성되고 반사파의 진행 방향도 직각인 면에서만 결정되므로 Fig. 5(b)와 같이 경사진 면에 대한 반사각의 개선이 필요하다. 특히 항만구조물 설계시 생성되는 반사파는 인근지역과 구조물에까지 상당한 영향을 미칠 수 있으며, 방파제 두부와 우각부, 도제 주변에서는 중복파보다도 파고가 커지므로 파고 증대에 따른 반사파 검토가 이뤄져야 한다.

Fig. 5.

Wave reflection on boundaries of structures.

따라서 본 연구에서는 Fig. 6과 같이 가장 일반적인 항만형상과 구조형식을 선정하여 경사면에서의 반사각 효과를 검증했다. 격자간격은 5 m의 정방격자를 이용하였으며(Dx = 1200, Dy = 1000), 항내수심은 7 m의 일정수심과 반사파 저감을 위하여 방파제 항내 일부는 소파구조로 고려하였다. 또한 Goda(1990)의 반사율을 참고로, 소파구조는 0.4, 직립구조는 0.9를 적용하였다.

Fig. 6.

Testing effects of reflection angle on slopes.

Fig. 6에 경사면에서의 반사효과에 대한 계산결과를 보인다. 반사각을 고려하지 않았을 경우 Fig. 6(a)과 같이 입사된 방향으로 다시 파향이 반사되는 것을 확인할 수 있으나 반사각을 고려하였을 경우에는 Fig. 6(b)에서 알 수 있듯이 구조물의 수직선과 입사파와의 입사각이 70^o보다 큰 경우 이므로 machstem이 존재하여 구조물로부터 직각 방향으로 파가 형성되어 반사되는 것을 확인할 수 있다. 따라서 개량된 만내설계파 모델의 경우, Fig. 6(b)과 같이 구조물의 배치형태에 따른 반사각을 고려할 수 있으므로 구조물에 의한 반사파의 산정시 보다 정확한 파랑 변화를 예측할 수 있을 것으로 판단된다.

2.4 쇄파에 의한 파고 감쇠항의 도입

본 모델에서는 Tomotsuka et al.(1990)이 제안한 것과 동일하게 쇄파로 인해 감쇠되는 파랑 에너지는 각각의 성분파 에너지에 비례한다고 가정하여, 다음 식(18) 같이 에너지평형방정식을 개량하였다.

여기서, ε_b′는 단위시간에 쇄파에 의한 에너지 소산율을 나타내며, ε_b′의 값은 계산격자 내에 진입한 파랑이 나오는데 필요로 하는 평균시간에 비례한다고 가정하여 다음 식(19)와 같이 나타내었다.

2.5 수심변화효과의 검증

천해역의 파고는 파의 진행을 방해하며 장애물 역할을 하고 있는 많은 섬들이나 천수 변형에 따른 지형적인 요인으로 상대적으로 낮게 형성되거나, 이와는 반대로 파의 회절 및 굴절 효과가 중첩되어 높게 형성될 수도 있다. 이러한 경우 굴절, 회절 및 천수변형도 고려해야 함으로 Sakamoto와 Ijima등은 Wilson의 심해풍파 도식계산법을 천해풍파에 확장했다. 특히 Ijima는 전자계산기를 이용해서 평면적인 풍역내의 파랑을 추산하는 방법을 개발하고, 이를 위하여 심해파에 대한 Wilson의 식에 기초하며 천해역의 취송거리 도표를 다음 식(20)과 같이 정식화 하였다.

파랑은 풍역 내의 임의의 점으로부터 임의의 시각에 출발해서, 각 시점의 도달 위치에서의 풍향에 따라 진행하며, 파랑이 진행해 온 방향과 풍향이 각도 θ만큼 다를 경우, 파고가 H₀= Hcosθ로 감소한다고 가정하고 계산을 한다(단 주기는 연속이라고 가정한다).

본 연구에서는 바람에 의한 파랑에너지 도입항의 풍파발달식으로 Ijima식을 사용하였다. 개량된 에너지 평형방정식 모델의 적용성을 검토하기 위하여 간단한 격자를 수립하여 취송거리(Fetch)거리에 따른 파고를 산정하여 계산하였으며 W.M.O(1998)에서 제시한 무차원 취송거리에 따른 무차원 파고의 곡선과 산출결과를 비교검토하였다.

2.5.1 Fetch 거리에 따른 파랑발달 검토

해역에서 일정한 풍속의 바람이 불기 시작하면 해면에서는 파랑이 발생하고, 그 파고와 주기는 시간에 따라 커지며, 그 풍속에 대응하는 값까지 상승되는데, 이를 과도상태라 한다. 이때 파고나 주기는 풍속과 취송시간에 의해 결정되며, 일정 시간 후 그 크기도 일정하게 유지된다.

따라서 본 검증실험에서는 바람에너지에 의한 파고 발달 상황만을 검토하기 위하여 파의 유입은 제한하였으며, 수심이 일정한 이상적인 해역에서 10m/s의 풍속이 일정방향으로 지속적으로 유지되게 하였다. 모델의 격자구성 및 기타조건은 계산의 용이성을 위하여 다음과 같이 설정하여 Table 1에 정리하였으며, h* = 0.2, 1.0, 5.0의 경우에 대해서 검증실험을 수행하였다. 특히 격자간격을 변화시켜 계산함으로 W.M.O에서 검토된 무차원 취송거리인 X*=10⁰~10⁷ 범위를 만족시킬 수 있도록 하였다.

Table 1.

Experiment specification for testing wave development by fetch

2.5.2 Fetch 거리에 따른 파랑발달 검토 실험결과

취송거리에 따른 파랑발달현상의 검증실험결과, 무차원 파고가 H* = 0.3, 0.15, 0.05 정도에 다다르면 취송거리가 연장되어도 거의 일정한 파고가 유지되는 것을 알 수 있었다.

Fig. 7에서 나타낸 바와 같이 무차원 파고의 크기에 약간의 차이는 있으나, WMO(1998)에서 제시된 무차원 파고곡선의 경향과 비교적 잘 일치하는 것을 알 수 있으며, 이러한 검증실험의 결과로서, 개량된 에너지 평형방정식 모델의 바람에 의한 파랑에너지 도입항의 신뢰성이 입증되었다고 판단된다.

Fig. 7.

Non-dimensional wave height curve by fetch distance.