3.1 파괴모드 및 한계상태함수

본 논문에서는 유공케이슨식 방파제의 다양한 파괴모드 중에서 파력에 대한 활동과 전도 파괴모드에 대해서만 다루었다. 편심경사하중에 의한 지지력 파괴모드나 지진하중에 의한 파괴모드는 대상에서 제외하였다. 방파제 활동 및 전도 파괴를 해석하기 위한 한계상태는 각각 식(1) 및 (2)와 같이 정의하였다.

여기서 f_c, W_i, B, U 및 P는 각각 제체와 마운드의 마찰계수, 제체 중량, 부력, 양력 및 파력이며 x_i와 y_i는 전도시 방파제의 회전 중심에서 하중까지의 수평 및 연직거리이다. 제체중량은 다시 무근콘크리트(W_c), 철근콘크리트(W_rc), 채움재(W_f)등으로 나눌 수 있다. 파력과 양력은 설계시 동시에 최대값을 가지도록 하기 위해서 독립 매개변수 G를 도입하고 파력과 양력을 이 변수에 종속적인 변수로 다음과 같이 정의하였다.

여기서, P₀와 U₀는 파력 및 양력의 설계 값이고 G는 고다파압식이 가지는 불확실성을 나타내기 위한 변수이다. 식(1) 및 (2)에서 제체에 작용하는 부력은 Fig. 2의 유공케이슨 형상에 의하여 다음과 같이 정의한다.

Fig. 2.

Geometry of perforated wall caisson.

위 식에서 B₀는 무공부의 부력이며 r_w, d_s, WL, b_e는 각각 해수 단위중량, 유수실 수심, 설계조위, 유공부 유효폭이다. Fig. 2에서 HWL과 LWL은 설계고조위와 설계저조위를 의미한다. 식(5)에서 무공부 부력은 다음과 같이 계산하였다.

여기서, d₀, b, v_f는 각각 무공부 높이, 케이슨 횡폭, 앞뒷굽 부피이다. 유공부 유효폭은 식(5)와 (6)으로부터 구할 수 있다.

3.2 신뢰성해석

방파제 신뢰성해석은 Level II 방법인 FORM(First Order Reliability Method)을 적용하였다. 식(1) 및 (2)와 같은 비선형 한계상태함수를 파괴점(X^*)에서 선형화한 근사 한계상태 함수(g~)에 대하여 파괴면(g~ < 0)이 평균으로부터 떨어진 거리(β)를 구한다. β는 감소 변수(reduced variable) 평면상에서 파괴점과 원점사이의 거리로서 한계상태함수의 민감도를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다(Hasofer and Lind, 1974).

3.3 부분안전계수

신뢰성해석 결과로 알게 된 민감도계수는 한계상태함수가 각 확률변수에 의해 영향을 받는 정도를 정량적으로 알 수 있게 해주는 중요한 정보이다. 따라서 이것을 이용하면 부분안전계수를 정할 수 있다. 부분안전계수는 목표신뢰성지수(β_T), 민감도계수(α_X), 평균(μ_X), 변동계수(V_X) 및 설계특성값(X_k)을 이용하여 다음과 같이 유도할 수 있다.

식에서 시사하는 바는 부분안전계수가 평균 및 표준편차와 같이 특정 확률변수의 통계적 특성값에 영향을 받기도 하지만 설계 특성값의 함수이기도 하다는 점이다. 따라서, 어떤 하나의 방파제에 대한 부분안전계수는 다른 방파제의 부분안전계수와 같을 수 없다. 따라서 설계사례의 수만큼 부분안전계수가 존재하게 되는 것이다.

3.4 하중저항계수

부분안전계수가 아닌 하중계수와 저항계수로만 방파제 설계를 하기 위해서는 부분안전계수를 하중저항계수로 전환하여야 한다. 식(9)와 (10)은 부분안전계수법에 의한 저항력 및 외력의 설계값과 하중저항계수법의 저항력 및 외력의 설계값을 일치하도록 만드는 저항계수(γ_R)와 하중계수(γ_S)를 구하는 식이다(Kim, 2019). 부분안전계수가 설계사례 개수만큼 존재하듯이 저항계수와 하중계수 조합 또한 설계사례 개수만큼 존재한다.

3.5 하중저항계수 최적화

설계사례 개수만큼 존재하는 하중계수와 저항계수를 설계에 사용할 수 있도록 단일 값으로 제시하기 위해서는 서로 다른 계수를 대표하는 최적화된 값이 필요하다. 이를 위해 식(11)의 최적화를 수행한다(MLTM, 2011).

여기서, 첫 번째 중괄호의 제곱항은 하중저항계수를 적용하여 재설계한 방파제의 신뢰성지수, β_i(γ_R, γ_S)와 목표신뢰성지수(β_T)의 거리를 가급적 줄이기 위한 항이며 두 번째 중괄호의 제곱항은 개별 방파제의 하중저항계수, γ_Ri와 γ_Si가 최종 하중저항계수 γ_R와 γ_S의 거리를 가깝게 만들기 위한 것이다. W_β와 W_γ는 각 제곱항의 가중치 값이다. 제약식(11b)는 하중저항계수를 적용하여 설계한 방파제가 목표신뢰성지수보다 크도록 하기 위한 것이다.

3.6 재설계 및 검증

최적화를 통해 구한 하중저항계수를 이용하여 설계한다면 그 방파제는 목표신뢰성지수보다 커야한다. 그래야만 설계법을 적용한 방파제가 최소한 목표신뢰성지수를 보장하여 안정성을 확보한다고 할 수 있다. 본 논문에서 제안한 하중저항계수를 검증하기 위해서 최종 도출된 하중계수와 저항계수를 이용하여 방파제를 설계한 후 이에 대하여 신뢰성해석을 수행한다. 그 결과 신뢰성지수가 목표신뢰성지수보다 큰 지를 확인한다. 식(12)는 하중저항계수를 이용하여 방파제를 설계했을 때 활동파괴모드에 대한 평형식이다. 좌측은 마찰저항력이며 우측은 파력이다. 일반적으로 파력보다 저항력을 조금이라도 크게 설계하기 때문에 안전여유(ε)를 두었다.

식에서 j는 파력작용 단계를 나타내는 것으로 유공케이슨의 경우 파봉시 3개, 파곡시 3개를 합쳐 최대 6개의 작용단계가 있다. 따라서, m은 최대 6이 될 수 있다. 최적화에 사용한 방파제 설계사례를 검증에 이용하려면 기존 안전율 1.2 이상으로 설계된 것을 식(12)를 이용하여 재설계해야 한다. 케이슨의 각 중량 요소중에서 기존의 설계를 적게 수정하면서 재설계를 가장 용이하게 하기 위해서 채움재 중량을 변화시킬 수 있다. 그래서 식(13)과 같이 채움중량 재산정 식을 유도할 수 있다.

식(13)에 의하면 채움재의 중량은 파력작용 단계의 개수만큼 존재한다. 그러나, 채움재는 여러 값을 쓸 수 없고 단일 값을 정해서 설계해야 한다. 따라서, 모든 파력작용단계에서 안전성을 확보하기 위하여 식(14)와 같이 각 단계에서 구한 채움재 중량의 최대값을 적용한다.

4.1 유공케이슨식 방파제

수치해석을 위해 Table 1에 표시한 12개의 유공케이슨식 방파제를 이용하였다. 각 방파제의 중량(W_i), 폭(b), 조위(WL), 앞뒷굽 부피(v_f), 유수실수심(d_s) 및 무공부 높이(d₀) 등이 있다. 그 밖에 해수단위중량은 10.3 kN, 마찰계수는 0.6을 사용하였다.

Table 1.

Design values for 16 breakwaters (dim: kN, m)

Table 2는 결정론적 방법으로 활동파괴모드의 안전율을 구한 것이다. 유공케이슨의 파괴모드는 3개의 압파(I, IIa, IIb)와 3개의 인파(I, II, III)가 존재한다(Takahashi et al., 1991). 본 논문에서는 편의상 압파를 P1~P3, 인파를 N1~N3으로 표시하였다. 인파보다는 압파에서 안전율이 작기 때문에 설계를 지배하는 것은 압파인 것을 알 수 있다. 따라서, 코드보정을 위해서는 압파의 3개 파력작용 모드만을 이용하였다. 11번 방파제인 홍도항 동방파제는 다른 방파제와 달리 안전율이 매우 높게 설계된 것을 알 수 있다.

Table 2.

Safety factors in sliding failure mode

4.2 신뢰성해석

신뢰성해석을 위해 Table 3의 확률변수 변동특성을 이용하였다(Japanese Harbor Society, 2007; US Army, 2006; Kim, 2019). COV는 변동계수(Coefficient of Variation)를 나타낸다. First Order Reliability Method(FORM)를 이용한 신뢰성해석 결과 신뢰성지수는 Fig. 3과 같다. P1~P3의 압파 작용시보다 N1~N3의 인파 작용시 신뢰성지수가 매오 높게 나온 것을 알 수 있다. 또한, 홍도항(11번)의 경우는 P1~P3에서도 다른 방파제 보다 신뢰성지수가 높게 산정되었다.

Table 3.

Distribution characteristics of design parameters

Fig. 3.

Reliability index by FORM.

P1 파력 모드에 대한 확률변수의 민감도계수는 Fig. 4와 같다. 민감도계수는 그 절대값이 클수록 한계상태함수에 대한 영향력이 크기 때문에 파괴를 지배하는 변수로 볼 수 있다. 대부분의 방파제는 마찰계수와 파력의 민감도가 지배적으로 나타났으나 홍도항(11번)의 경우만 파력의 민감도가 작게 나왔다. 홍도항의 중량이 과다 설계되어 파력보다 중량에 의한 마찰력이 설계를 지배한다고 볼 수 있다. 무근, 철근, 채움재 등의 중량 요소 중에서는 채움석이 상대적으로 높은 민감도를 보였다. 그 이유는 Table 1에서 보듯이 채움재 중량이 다른 요소보다 월등히 무겁기 때문이다.

Fig. 4.

Sensitivities of design parameters.

4.3 부분안전계수

12개 방파제 신뢰성해석 결과로 얻은 민감도계수를 이용하고 목표신뢰성지수를 2.1로 적용했을 때 P1 파력작용단계의 6개 설계변수에 대한 부분안전계수는 Fig. 5와 같다. 방파제 마다 설계조건이 다르기 때문에 식(8)로 구한 부분안전계수는 서로 다르게 나타난다. 11번 방파제를 제외하고는 변동폭은 다소 있지만 부분안전계수가 비교적 일정범위 안에 존재하였다. 다른 방파제와 상이한 결과를 보인 것은 11번 방파제와 4번 방파제로 이들은 Table 2에서 알 수 있듯이 결정론적 설계의 안전율이 다른 것과 달리 매우 크게 설계된 것들이다.

Fig. 5.

Partial safety factors.

Fig. 5에서 γ_G와 γ_fc가 1.0으로부터 가장 편차가 큰 부분안전계수들이다. 이들 설계변수는 Fig. 4의 민감도계수에서도 큰 값을 가지는 것들로 설계를 지배하는 변수들이다. 이들을 제외한 나머지 부분안전계수들은 1.0과 매우 가깝게 관찰되었으며 설계의 안정성에 대한 영향이 상대적으로 적다고 볼 수 있다.

4.4 하중저항계수

식(8)에 민감도계수와 목표신뢰성지수 β_T를 적용하면 부분안전계수를 구할 수 있다. 부분안전계수는 12개 방파제, 6개 파력 작용모드에 따라 각각 서로 다른 값을 가지게 된다. 이 값들을 식(9)~(10)에 적용하면 저항계수와 하중계수를 12개 방파제, 6개 파력 작용모드별로 각각 구할 수 있어 총 72개의 쌍을 얻을 수 있다. Fig. 6은 이렇게 구한 저항계수와 하중계수를 활동파괴모드에 대하여 그림으로 나타낸 것이다. 저항계수는 0.72~0.99, 하중계수 0.80~1.10 범위에서 불규칙한 분포를 보였다.

Fig. 6.

Load & resistance factors.

4.5 하중저항계수 최적화

보편적 설계에 적용하기 위한 하중, 저항계수는 매번 다른 값을 적용할 수 없으므로 최적화된 하나의 값을 도출해야 한다. 이를 위해 우선 저항계수를 앞에서 구한 값들의 평균으로 사용한다. 압파가 작용하는 P1~P3의 해석으로 구한 저항계수를 평균한 결과 0.80으로 확인되었다. 식(11)을 이용하여 최적화를 수행하면 최적의 가격함수에 해당하는 하중계수를 얻을 수 있다.

최적화는 저항계수 γ_R이 0.80으로 고정되었기 때문에 하중계수 γ_S를 변화시키면서 β_i(γ_R, γ_S)를 구하여 가격함수가 최저점이 되도록 한다. 그런데 β_i(γ_R, γ_S)라는 것은 γ_R과 γ_S를 적용하여 방파제 i를 재설계한 후 해당 방파제를 신뢰성해석하여 얻을 수 있는 신뢰성지수이다. 재설계를 위해 식(13)의 채움재 중량 산정식에 ε = 0을 적용하면 P1~P3까지 총 3개의 채움재 중량을 구할 수 있다. Fig. 7은 2번 방파제의 채움재 중량 재설계에 따른 파력 작용모드 P1~P3의 안전율(FS)을 보여주는 그림이다. 채움재 중량을 줄일수록 처음에는 P3가 가장 작은 안전율을 보이지만 4500 kN/m 이하에서는 P1의 안전율이 가장 작게 된다. Fig. 7에서 안전율이 1.0인 지점에서 수평선을 그으면 채움재 중량은 P2, P3, P1의 순서대로 커진다. 모든 파력작용에 대하여 안전성을 확보해야 하므로 세 경우 중 가장 큰 값인 P1에서 구한 중량으로 재설계 해야 한다.

Fig. 7.

Safety factors of wave attack mode during weight change.

Fig. 1의 최적화 과정을 통해 목표신뢰성지수 β_T = 2.1에 대하여 저항계수 γ_R = 0.80, 하중계수 γ_S = 1.10을 구할 수 있었다. 이를 이용하여 12개 방파제에 대한 재설계를 한 후 신뢰성해석한 결과 Fig. 8과 같은 신뢰성지수 분포를 구하였다. 눈금선은 2.1을 나타내며 모든 방파제의 신뢰성지수가 2.1을 초과한다.

Fig. 8.

Reliability index using the optimized load and resistance factor.

하중저항계수를 기존 방파제들의 설계값을 분석하여 구할 수 있지만 과도하게 보수적으로 설계된 사례가 포함된다면 산정한 하중저항계수에도 매우 보수적인 결과를 초래하게 될 것이다. Table 2에서 11번 방파제인 홍도항 동방파제가 다른 방파제보다 월등히 보수적인 설계임을 알 수 있다. 따라서, 이것이 하중저항계수에 어떤 영향을 주는지를 살펴보는 것이 필요할 것으로 판단되었다. Table 4는 11번 방파제를 포함시켰을 때와 제외시켰을 때의 최종 하중저항계수를 활동, 전도 파괴모드에 대해서 보여주고 있다. 하중계수를 저항계수로 나눈 값을 겉보기 안전율이라 할 수 있으므로 이를 비교하면 활동 파괴모드의 경우 1.31에서 1.38로 5.3%, 전도 파괴모드에서는 1.38에서 2.15로 무려 55.8%를 상승시키고 있다. 따라서, 11번 방파제를 최종 하중저항계수 보정에서 제외시키는 것이 합리적일 것으로 본다. Table 5는 사례에서 11번을 제외한 나머지 11개 방파제 설계값을 이용하여 목표신뢰성지수 1.7~2.5 범위에서 목표파괴확률(P_{f, T})에 따른 하중저항계수 산정결과이다.

Table 4.

Load & resistance factors with and without case 11

Table 5.

Load & resistance factors according reliability index