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Journal of Korean Society of Coastal and Ocean Engineers > Volume 28(4); 2016 > Article
추계학적 확률과정을 이용한 경사제 피복재의 예방적 유지관리를 위한 조건기반모형

요약

추계학적 확률과정을 이용하여 경사제 피복재를 예방적으로 유지관리할 수 있는 조건기반모형을 개발하였다. 완전 보수보강 조건에서 가장 경제적으로 보수보강이 수행되어야 하는 최적의 시점을 결정할 수 있는 모형이다. 본 연구에서 개발된 RRP(Renewal Reward Process) 기반 경제성 모형은 이자율을 고려할 수 있을 뿐만 아니라 기존 연구에서 상수로 취급하던 비용을 시간에 따른 확률변수로 고려할 수 있다. 누적피해와 사용한계 그리고 구조물의 중요도를 모두 고려할 수 있는 함수식을 제시하여 ABM(Age-Based Maintenance)을 CBM(Condition-Based Maintenance)으로 쉽게 확장할 수 있게 하였다. 또한 함수식에 포함된 계수들을 수학적으로 산정할 수 있는 방법도 제시하였다. 두 가지 추계학적 확률과정, WP(Wiener Process)와 GP(Gamma Process)를 이용하여 경사제 사석재를 해석하였다. 사용한계, 이자율 그리고 구조물의 중요도에 따라 시간에 따른 기대총비용율을 산정하여 기대총비용율이 최소가 되는 예방적 유지관리의 최적 시점을 쉽게 추정할 수 있었다. 동일한 사용한계에서 이자율이 높을 수록 최적시점은 늦어지고 그에 따라 기대총비용율도 낮아졌다. 또한 상대적으로 GP가 WP보다 더 보수적으로 최적시점을 예측하였다. 마지막으로 동일한 조건에서 구조물의 중요도가 높을수록 더 자주 예방적 보수보강을 실시하여야 한다는 것을 알았다.

Abstract

A stochastic process has been used to develop a condition-based model for preventive maintenance of armor units of rubble-mound breakwaters that can make a decision the optimal interval at which some repair actions should be performed under the perfect maintenance. The proposed cost model in this paper based on renewal reward process can take account of the interest rate, also consider the unplanned maintenance cost which has been treated like a constant in the previous studies to be a time-dependent random variable. A function for the unplanned maintenance cost has been mathematically proposed so that the cumulative damage, serviceability limit and importance of structure can be taken into account, by which a age-based maintenance can be extended to a condition-based maintenance straightforwardly. The coefficients involved in the function can also be properly estimated using a method expressed in this paper. Two stochastic processes, Wiener process and gamma process have been applied to armor stones of rubble-mound breakwaters. By evaluating the expected total cost rate as a function of time for various serviceability limits, interest rates and importances of structure, the optimal period of preventive maintenance can easily determined through the minimization of the expected total cost rate. For a fixed serviceability limit, it shows that the optimal period has been delayed while the interest rate increases, so that the expected total cost rate has become lower. In addition, the gamma process tends to estimate the optimal period more conservatively than the Wiener process. Finally, it is found that the more crucial the level of importance of structure becomes, the more often preventive maintenances should be carried out.

1. 서 론

모든 시설물들은 시간의 진행에 따라 그 성능이 감소된다. 이는 해당 시설물의 피해가 시간의 진행에 따라 누적되기 때문이다. 만약 누적피해가 파괴한계 이상이 되면 안전성에 심각한 문제, 파괴가 생기고 사용한계를 초과하면 사용성에 상당한 제약을 주게 된다. 특히 사회기반시설물이 파괴될 경우 인명의 손실을 포함한 경제적 손실이 크기 때문에 사회에 미치는 영향은 다른 어느 분야보다 크다. 따라서 예기치 못한 파괴를 미연에 방지하기 위하여 예방적 유지관리가 필요하다.
우리나라에서는 대략 1960, 70년 처음으로 시작한 경제개발 5개년 계획에 따라 주요 사회기반시설물들이 건설되기 시작하였다. 과거 건설된 대부분의 사회기반시설물의 내구년수가 약 50년임을 감안하면 많은 사회기반시설물들의 내구년수는 이미 지났거나 조만간 도래한다. 이는 수명이 다해가는 시설물에 대한 유지관리, 즉, 성능강화를 위한 보수보강이 필요하다는 의미이다. 지금까지는 국가 차원의 체계적인 보수보강 시스템이 없어서 각각의 경우에 따라 임기응변식으로 보수보강을 실시하여 왔다. 이는 상당한 비용의 낭비를 초래하였다. 미국은 1920, 30년대 건설된 사회기반시설을 올바로 유지관리하기 위하여 1980년대에 연구를 시작하여 1990년대에 현재까지 적용되는 유지관리 체계를 수립하였다. 일본의 경우도 1940, 50년대 고도성장기에 건설된 사회기반시설물에 대한 유지관리 연구가 1990년대부터 시작되어 2000년대 적용되기 시작하였다. 미국과 일본 등 선진국들이 이와 같은 노력을 경주하는 이유는 사회기반시설물의 올바른 유지관리가 국가발전의 원동력이기 때문이다(Choate and Walter, 1983). 특히 저성장 시대가 도래하고 저출산, 고령화 사회가 가속화됨에 따라 국가 예산의 총액대비 사회기반시설에 투입되는 재원의 규모가 시간이 갈수록 줄어들 수밖에 없다. 또한 사회가 발전함에 따라 사회기반시설물에 요구되는 성능도 점점 높아지는 추세이다. 이와 같이 줄어드는 건설 예산에서 신규 사업이 차지하는 비중은 시간이 갈수록 줄어들게 되고 기존 구조물의 유지관리 예산은 더 커질 수 밖에 없다. 높아지는 요구수준을 만족시키면서 유지관리 예산을 효율적으로 사용하기 위해서는 시설물 별로 최적의 유지관리를 수행해야 한다. 이는 사회기반시설물 별로 유지관리 시점과 규모를 올바로 산정해야 된다는 것을 의미한다.
육상의 사회기반시설물 보다 방파제나 안벽 등과 같은 항만 시설물의 본격적인 건설시점은 상대적으로 늦다. 따라서 항만 시설물의 내구년수가 교량 등과 같은 육상 시설물의 내구년수보다 아직은 여유가 있다고 생각할 수 있다. 그러나 기후변화에 따른 해양환경이 점점 더 불확실해지고 항만 시설물의 안전성에 미치는 외력이 증대되고 있어 이에 대하여 시급히 대책을 수립하여야 한다. 외력 증대에 따른 성능 보완이나 피해된 시설물의 보수보강이 동시에 예방적으로 수행되어야 한다. 국가 경제를 수출에 의존하는 우리나라의 경우 항만 시설물의 노후화를 방지하고 강화하는 것은 국가 경제발전의 활력소 역할을 할 수 있다. 우리나라의 경우 아직 사회기반시설물에 대한 체계적인 예방적 유지관리 시스템이 개발되지 못하고 있다. 다만 유일하게 시설물 안전관리에 대한 특별법에서 인명의 손실 관점에서 시설물의 중요도에 따라 안전성에 대한 점검을 실시하고 있을 뿐이다. 그마저도 방파제 등과 같은 주요 항만 시설물은 빠져 있고 경제성을 고려하지 못하고 있다.
본 연구에서는 사회기반시설물의 시간에 따른 누적피해를 고려하여 유지관리에 대한 경제성 분석을 실시하여 최적의 유지관리 시점과 규모를 결정할 수 있는 예방적 모형을 제시하고자 한다. 이는 항만 구조물을 포함한 사회기반시설물을 단순한 구조물이 아니라 국가의 자산으로 고려하여 성능 차원의 안전성과 비용차원의 경제성을 모두 만족하는 최적의 관리 시스템을 개발하는 과정이다. 기업들이 생산설비를 회사의 자산으로 고려하여 최적으로 예방적 유지관리를 실시하는 것과 동일한 접근법이다. 따라서 현재까지 수행된 이와 관련한 연구의 대부분은 생산설비에 대한 것이다. 따라서 본 연구에서는 이 분야의 개념들을 토목분야의 사회기반시설물로 확대 적용하였다. Barlow and Proschan(1965), DeGroot(1970), Karlin and Taylor(1975), Ross(1970) 등이 이론적으로 선구적인 연구를 수행하였으며, 최근 Nakagawa(2005, 2010)가 지금까지 이루어진 최적화 모형들을 정리하였다. 그 외 다양한 관련 연구들이 Frangopol et al.(2004), Pandey et al.(2009), van Noortwijk(2009), van der Weide et al.(2010), van der Weide and Pandey(2011)Lee(2013a, b)에 의하여 수행되었다. 대부분의 연구들이 임의로 가정한 단순한 조건에 대하여 모형의 민감도 분석을 수행한데 비해, Lee(2013a, b)는 경사제 피복재라는 항만 구조물의 실제적 문제에 대하여 예방적 유리관리에 대한 연구를 처음으로 수행하였다. 그러나 경사제 피복재에 대한 여러 모형들을 개발하는 과정에 비용의 시간에 따른 가치를 고려하지 않았다. 따라서 본 연구에서는 이와 같은 한계를 극복할 수 있는 모형을 제시하고자 한다. 또한 현재 가장 많이 사용되는 추계학적 확률과정들을 비교하여 경사제 피복재에 가장 적용성이 좋은 추계학적 확률과정을 제시하고자 한다.
본 논문의 구성은 다음과 같다. 제 2절에는 RRP(Renewal Reward Process)에 의한 경제성 모형 수립과정을 제시하였고, 제 3절에 조건기반 유지관리 모형을 제시하였다. 또한 제 4절에는 추계학적 확률과정의 근본적인 개념과 추계학적 확률과정별 사용년수의 분포함수를 설명하였다. 그리고 제 5절에는 임의의 조건에 대하여 추계학적 확률과정별 해석 결과를 비교 분석하였다. 또한 기존의 연구성과를 가지고 경사제 피복재에 적용하였다. 특히 비용의 시간에 따른 가치변화의 영향을 해석하였다. 마지막으로 제 6절에 결론을 제시하였다.

2. RRP에 의한 경제성 모형의 수립

시간의 진행에 따른 누적피해에 의하여 구조물의 성능이 사용한계 또는 파괴한계 등과 같이 일정 수준이하로 떨어지면 보수보강 또는 복구를 실시하여야 한다. 구조물이 일단 파괴가 되면 그에 따른 직·간접비용이 상당히 크기 때문에 이를 사전에 방지하기 위하여 최적의 예방적 보수보강을 실시하여야 한다. 예방적 보수보강이란 누적피해가 파괴한계나 사용한계를 초과하여 사용성이 제한을 받기 전에 수행되는 성능복원 행위로 최소의 비용으로 최대의 효과를 얻을 수 있어야 한다. 따라서 최적의 예방적 보수보강을 정책을 수립하기 위해서는 관련 비용들에 대한 경제성 분석이 수행되어야 한다.
임의 구조물에 t 시간 동안 M(t)번의 보수보강이 T1, T2, …, TM(t) 시간에 각각 C1, C2, …, CM(t) 비용으로 수행되는 경우를 생각하면, 임의의 시간 t까지 보수보강에 소요되는 총비용(total cost), K(t)는 다음 식 (1)과 같이 정의된다.
(1)
K(t)=j=1M(t)Cj
여기서 Cjj번째 보수보강에 소요되는 비용이고, M(t)는 t시간 동안 수행되는 보수보강 횟수이다. 식 (1)의 물리적 의미를 살펴보기 위하여 M(t) = 2 인 간단한 경우를 살펴보면 다음과 같이 해석할 수 있다. 처음에 일정 크기의 성능을 가지고 건설된 구조물은 그 기능을 올바로 발휘하지만 시간의 진행에 따라 성능이 감소된다. 예방적 유지관리 차원에서 성능이 사용한계 수준 이하로 떨어지면 첫 번째 보수보강이 T1에서 C1의 비용으로 수행되어야 한다. 이때 보수보강의 규모는 C1에 의하여 결정된다. 일반적으로 보수보강의 규모는 개선, 개량, 원상복구등 3가지로 구분된다. 리뉴얼에 의하여 성능이 강화된 구조물은 다시 그 기능을 올바로 발휘하지만 동일하게 시간의 진행에 따라 또 성능이 감소되어 다시 두 번째 보수보강이 T2에서 C2의 비용으로 이루어져야 한다. 따라서 T1+T2 시간까지 소요된 보수보강의 총비용은 C1+C2 가 된다. 이와 같이 반복적으로 이루어지는 보수보강 과정은 각기 다른 시간대에서 발생하는 하중사상과 구조물의 누적피해 특성에 의존한다. 이는 식 (1)에서 M(t) 와 Tj 그리고 Cj가 하중발생사상 뿐만 아니라 구조물의 누적피해 특성과 관련 있는 확률변수라는 의미이다. 따라서 식 (1)을 그대로 사용할 수 없고 확률적 관점에서 다음 식 (2)와 같이 정의되는 총비용의 기대치 개념으로 변환하여야 한다(Ross, 1970; van der Weide et al., 2008).
(2)
Q(t)=limtK(t)t
(2)는 장기간 이루어지는 보수보강과 관련된 단위시간당 총비용으로 정의할 수 있다. 식 (2)를 해석하기 위해서는 보수보강 시간 Tj와 시간에 따른 보수보강 횟수 M(t) 및 총비용 K(t) 의 관계를 이해하여야 한다.
만약 M(t) 번의 보수보강이 각기 다른 시간에 이루어진 경우를 생각하면 다음 식 (3)을 정의할 수 있다.
(3)
T1+T2++TM(t)t<T1+T2++TM(t)+1
각항을 M(t) 로 나누고 시간을 무한대로 보내면 limtM(t)을 만족하기 때문에 limm(T1+T2++Tm)/m=E(T) 을 만족한다. 따라서 식 (3)은 다음 식 (4)와 같이 기대 보수보강시간(expected renewal period)이 된다.
(4)
limttM(t)=E(t)
동일하게 식 (1)에 의하여 t시간까지 보수보강으로 소요된 총비용은 다음 식 (5)와 같은 관계를 갖게 된다.
(5)
j=1M(t)Cj=K(t)j=1M(t)+1Cj
(4)를 얻는 과정과 동일하게 양변을 t로 나누고 시간을 무한대로 보내면 다음 식 (6)을 얻을 수 있다.
(6)
limt(j=1M(t)CjM(t)M(t)t)=limtK(t)tlimt(j=1M(t)+1CjM(t)+1M(t)+1t)
마지막으로 식 (2)와 식 (4)를 식 (6)에 대입하여 정리하면 보수보강에 따른 기대비용율(expected cost rate)을 다음 식 (7)과 같이 얻을 수 있다.
(7)
Q(T)=E(C)E(T)
여기서 E[C]=limm(C1+C2++Cm)/m 는 보수보강에 소요되는 기대비용(expected cost)이다. 해석적으로 식 (7)은 식 (1)의 총비용에 포함된 확률변수들인 보수보강 횟수 M(t) 와 비용 Cj 변환하여 총비용을 직접 사용하지 않고 기대비용율로 경제성 해석을 수행하는 개념이다. 이를 경제성 해석 모형에서 RRP라 한다.
한편 이상의 경우는 시간에 따른 비용의 가치를 고려하지 않은 경우이다. 그러나 실제의 경우 보수보강은 각기 다른 시간에 수행된다. 따라서 경제성 분석을 올바로 수행하기 위해서는 보수보강 비용의 시간에 따른 가치변화를 고려하여야 한다. 현재가치를 기준으로 시간에 따른 비용의 가치를 고려하기 위해서는 식 (1)이 다음 식 (8)과 같이 변환되어야 한다.
(8)
K(t,r)=j=1M(t)erUjCj
여기서 r은 이자율이고 Uj = T1 + T2 + … + Tjj번째 보수보강 시간을 의미한다. van der Weide et al.(2008)에 의하면 비용의 시간에 따른 가치를 고려한 경우의 기대비용율은 다음 식 (9)와 같이 정의된다.
(9)
Q(t,r)=rE[K(t,r)]
만약 T1,…,Tj가 독립적이고 동일한 분포(independent identically distribution: iid)를 갖는 확률변수이고, Cj와 확률적으로 독립이라 가정하고 식 (8)의 기대치를 식 (9)에 대입하면 다음 식 (10)을 쉽게 얻을 수 있다.
(10)
Q(Tr)=rE[CerT]1E[erT]
수학적으로 limr0Q(T,r)=Q(T) 를 만족하기 때문에 식 (10)은 식 (7)을 포함한다. 식 (10)에서 볼 수 있듯이 시간에 따른 비용의 가치를 부여하는 경우에는 그렇지 않은 경우의 식 (7)보다 훨씬 복잡한 과정을 거쳐야 경제성 해석을 수행할 수 있다. 현재까지 대부분의 연구에서는 시간에 따른 비용의 가치변화를 고려하지 않았다. 이는 앞에서 설명한 바와 같이 수학적 모형이 복잡하기 때문이다. 본 연구에서는 보수보강이 수행되는 시간에 따른 비용의 가치변화를 고려하여 해석하고자 한다.

3. 조건기반 유지관리 모형

본 논문에서는 Fig. 1과 같이 임의로 설정한 일정한 시간 T 간격으로 최적의 예방적 보수보강을 실시하는 정책에 대하여 해석하고자 한다.
이 정책의 근본적인 가정은 T 시점에서 정확히 누적피해가 사용한계에 도달한다는 것이고 CP의 비용으로 최적의 완전 보수보강을 실시할 수 있다는 것이다. 그러나 누적피해가 사용한계를 초과하는 시점, TαT보다 일찍 발생할 수도 있다. 또한 Tα가 매우 불확실하게 거동한다. 따라서 이와 같은 영향을 고려하여 임의로 설정한 예방적 보수보강 간격 T가 최적인지를 검토해야 한다. 이를 위해서는 다음과 같이 두 가지 경우를 생각하여야 한다. 하나는 누적피해가 T 이전에 사용한계를 초과하는 경우이다. 이와 같은 경우가 발생하면 사용한계를 초과한 범위에 따라 CF의 비용으로 즉시 완전 보수보강을 실시하여야 한다. 따라서 CPCF가 된다. 다른 하나는 누적피해가 T 시점에서 사용한계에 도달하거나 그때까지도 사용한계를 초과하지 않는 경우이다. 비록 누적피해가 사용한계에 도달하지 않았더라도 정책적으로 무조건 T 시점에서 CP의 비용으로 완전 보수보강을 실시하여야 한다. 따라서 후자의 경우는 아직 보수보강을 실시하지 않아도 되는데 보수보강을 실시한다는 의미이다. 이 두 가지 경우를 조합하면 T의 간격을 짧게 설정하면 너무 자주 보수보강을 실시하여 비경제적일 수 있고 너무 길게 잡아도 피해가 커져 보수보강 비용이 커질 수 있다. 따라서 최적화 모형을 이용하여 가장 경제적인 최적의 보수보강 시점, T*를 결정해야 한다. 이상에서 설명한 정책을 이용하여 현재까지 수행된 이전의 거의 모든 연구에서는 CF를 상수로 고려하였다. 이는 수학적 모형을 단순화하기 위하여 CF를 단순히 파괴에 따른 복구비용으로 생각했기 때문이다. 이와 같은 접근방법을 제령기반 유지관리(ABM:Age-Based Maintenance)이라 한다. 그러나 본 연구에서는 CF를 시간에 따른 누적피해수준의 함수로 고려하였다. 이는 본 연구에서 사용하는 모형이 조건기반 유지관리(CBM:Condition- Based Maintenance)가 된다는 의미이다. CBM이란 구조물의 상태조건, 즉 누적피해수준에 따라 각기 다르게 비용을 투입하여 가장 경제적으로 유지관리한다는 개념이다. 따라서 본 연구에서 제시한 개념을 이용하면 ABM을 비교적 쉽게 CBM으로 확장할 수 있다.
앞에서 설명한 바와 같이 RRP 개념으로 최적의 보수보강 시점을 결정할 수 있는 경제성 모형을 수립하기 위해서는 기대총비용과 기대 보수보강 기간을 산정하여야 한다. 먼저 Fig. 1에 의하여 시간에 따른 비용의 가치변화를 고려한 기대총비용은 다음 식 (11)과 같이 정의할 수 있다(Nakagawa, 2005).
(11)
E[CerT]=CF(Tα)erTαP(Tα<T)+CPerTP(TαT)
여기서 Tα 는 사용한계 α를 최초로 통과하는 시간을 나타내는 확률변수이다. 식 (11)의 우변 첫 항은 누적피해가 T 이전에 사용한계를 초과하는 경우에 소요되는 기대비용을 현재 가치로 나타낸 것이고, 두 번째항은 누적피해가 T 시점에서 사용한계에 도달하거나 그때까지도 사용한계를 초과하지 않는 경우의 보수보강의 기대비용을 현재가치로 나타낸 것이다.
따라서 확률변수 Tα 가 임의의 확률분포 F(t)를 따른다고 가정하면 식 (11)은 다음 식 (12)와 같이 된다.
(12)
E[CerT]=0TCF(t)ertdF(t)+CPerT[1F(T)]
동일한 개념에 의하여 기대 보수보강 기간도 다음 식 (13)과 같이 쉽게 얻을 수 있다.
(13)
E[erT]=0TerTdF(t)+erT[1F(T)]
따라서 식 (12)(13)을 식 (10)에 대입하고 수학적으로 간단히 정리하면 다음 식 (14)를 얻을 수 있다.
(14)
Q(T,r)=0TCF(t)ertdF(t)+CPerT[1F(T)]0TerT[1F(t)]dt
(14)는 단위시간당 기대총비용, 기대총비용율이다. 따라서 기대총비용율이 최소가 되는 시점이 최적의 보수보강 시점, T*가 된다. 식 (14)를 해석하기 위해서는 사용한계를 최초로 통과하는 시간, 사용년수 Tα의 분포함수 F(t)를 알아야 한다. 이를 알기 위해서는 시간에 따른 누적피해의 진행과정을 예측할 수 있어야 한다. 현재까지 시간에 따른 누적 피해의 진행과정을 예측하는데 가장 적합한 방법이 추계학적 확률과정이다. 이는 시간에 따른 누적피해의 불확실성을 올바로 고려할 수 있기 때문이다.

4. 추계학적 확률과정과 사용년수의 분포함수

추계학적 확률과정은 불확실성을 고려하여 임의 구조물의 시간에 따른 누적피해를 추정하기 위하여 사용하는 확률론적 해석방법이다. 현재까지 가장 많이 사용되고 있는 추계학적 확률과정으로는 WP(Wiener Process), GP(Gamma Process) 그리고 CPP(Compound Poisson Process) 등이 있다. Lee(2015)는 이들 세 가지 추계학적 확률과정을 이용하여 경사제 피복재의 기대누적피해수준을 예측하였다. 따라서 본 연구에서는 추계학적 확률과정에 대한 자세한 내용에 대하여는 언급하지 않고 식 (14)에서 필요로 하는 사용한계를 최초로 통과하는 시간(the first passage time), 사용년수 Tα의 분포함수 F(t)에 대하여 주로 설명한다. 또한 CPP는 WP나 GP와는 다르게 계수 추정을 해야 하기 때문에 본 연구에서는 WP와 GP에 대하여만 설명한다. CPP에 대한 적용은 향후 추가적으로 연구할 예정이다.
먼저 WP에서 임의 구조물의 시간 t에 따른 누적피해, Z(t)는 다음 식 (15)와 같이 정의된다(Nicolai et al., 2007; Lee, 2015).
(15a)
Z(t)=μΛ(t)+σW[Λ(t)]
(15b)
Λ(t)=tp
여기서 μσ를 피해율의 평균과 표준편차, W[Λ(t)] 를 정규화된 WP라 하고 누적피해의 시간에 따른 변동성을 나타낸다. 따라서 시간에 따른 누적피해는 정규분포, NμΛ(t),σ2Λ(t) 를 따른다. 따라서 누적피해가 임의의 한계수준, α를 최초로 통과하는 시간인 사용년수 Tα의 분포함수는 다음 식 (16)을 이용하여 얻을 수 있다.
(16)
P[Tαt]=P[Z(t)α]
따라서 WP의 사용년수 Tα의 분포함수는 다음 식 (17)과 같이 정의되는 역가우스 분포(inverse-Gaussian distribution)를 따른다(Nicolai et al., 2007; Lee, 2015).
(17)
fWP(t)=αp2πσΛ(t)(2+p)/2pe[Λ(t)μα]2/2Λ(t)σ2
한편 GP에서는 임의 구조물의 시간에 따른 누적피해가 다음 식 (18)과 같이 정의되는 감마분포(gamma distribution)를 따른다고 가정한다(van Noortwijk, 2009).
(18)
fZ(t)(z)=uv(t)Γ[v(t)]zv(t)1euz,z0
여기서 v(t) = voΛ(t)로 정의되는 형상함수, u는 축척계수이다. 따라서 식 (16)을 이용하면 GP의 사용년수 Tα의 분포함수도 다음 식 (19)와 같이 얻을 수 있다(Lee, 2015).
(19a)
FGP(t)=Γ[v(t),αu]Γ[v(t)]
(19b)
Γ(a,b)=betta1dt
이상에서 추계학적 확률과정 WP와 GP의 사용년수에 따른 분포함수를 살펴보았다. 시간에 따른 누적피해수준이 사용한계나 파괴한계를 통과하는 최초시간에 대한 분포함수다. 따라서 이를 경제성 모형 식 (14)와 결합하면 된다. 그러나 선행적으로 WP와 GP에 포함된 통계학적 계수들, μ, σ, vo 그리고 u를 결정하여야 한다. 이는 시간에 따른 누적피해수준으로부터만 추정될 수 있다. 따라서 시간의 진행에 에 따른 누적피해수준의 관측 자료를 이용하는 것이 가장 바람직하다. 그러나 현실적으로 이와 같은 관측 자료들을 확보하는 것은 상당히 어렵다. 특히 항만 구조물은 해상에 위치하기 때문에 상대적으로 육상의 구조물 보다 더 어렵다. 만약 어떤 특정한 시점에서 단 한번이라도 관측한 자료가 있다면 개략적으로 라도 WP와 GP에 포함된 통계학적 계수들을 추정할 수 있다. 그러나 대부분의 경우는 관측 자료가 거의 없을 뿐만 아니라 있다 하더라도 부정확할 수 있다. 이와 같은 문제를 해결하기 위하여 Lee(2015)는 수치적으로 누적피해를 추정하는 표본경로기법(sample path method)을 제시하였다. 따라서 본 연구에서는 이 결과를 이용하여 WP와 GP에 포함된 통계학적 계수들을 추정하고 해석하였다.

5. 경사제 피복재에 대한 적용 결과

본 절에서는 RRP 개념에 의해 수립된 경제성 모형과 추계학적 확률과정을 결합하여 예방적 유지관리를 위한 시점과 규모를 최적으로 결정하는 과정을 설명한다. 앞에서 설명한 바와 같이 시간에 따라 식 (14)의 기대총비용율을 산정하기 위해서는 사용년수의 분포함수 F(t) 와 CF(t) 를 알아야 한다.
먼저 F(t)의 경우는 추계학적 확률과정을 이용하면 된다. WP의 경우는 식 (17), GP의 경우는 식 (19)를 이용할 수 있다. 따라서 식 (17)과 식 (19)에 대한 거동특성을 먼저 살펴보았다. 해석을 위해 식 (15)μ = 2.5, σ = 0.3 그리고 p = 0.3 을 사용하였다. 이 자료들은 Lee(2015)가 설계파고 4.4 m, 제체경사 1.5, 피해율 5%에 대하여 Dn = 1.5 m로 설계된 경사제 사석재의 누적 기대피해수준, S의 거동특성을 표본경로기법으로 산정한 통계적 특성이다. 동일한 자료를 이용하여 추계학적 확률과정, WP의 식 (15)와 GP의 식 (18)로 추정한 누적 기대피해수준을 표본경로기법으로 추정한 결과와 만족스럽게 비교하였다. 표본경로기법에 대한 내용과 계수 추정방법들은 Lee(2015)에 자세히 언급되었다.
한편 PIANC(1992)에 의하면 경사제 사석재의 허용 피해수준, 사용 피해수준 그리고 파괴 피해수준은 각각 Z(t) ≡ S = 2, S = 6 그리고 S = 14이다. 따라서 파괴되기 위해서는 피해수준이 14에 도달해야 된다. 이와 같은 개념을 이용하면 사용한계의 최소치는 6이 된다. 이는 피해수준이 6에서 14 사이에서 거동할 수 있다는 의미이다. 예방적 유지관리란 임의의 시점에 가장 경제적으로 보수보강을 실시하여 파괴를 방지하는 것이다. 이는 사용한계와 파괴한계 사이의 피해수준 범위내에서 효율적으로 예방적 유지관리를 계획하기 위한 사용한계를 정의할 수 있다는 의미이다. 따라서 본 연구에서는 사용한계, α를 변화시키면서 사용한계를 최초로 통과하는 사용년수의 확률밀도함수를 계산하였다. WP와 GP의 밀도함수를 Fig. 2에 제시하였는데, Fig. 2(a)가 사용한계 α = 6.0 에 대한 결과이다. 그림에서 보듯이 GP의 최빈값(modal value)이 WP의 그것보다 일찍 발생하나, 크기는 작아 꼬리부분이 넓게 분포하는 특징을 보인다. 이는 GP가 더 큰 불확실성을 나타내는 것이다. 나머지 α = 8.0 과 α = 10.0 의 결과도 함께 제시하였는데 전반적인 거동특성은 동일하다. 그러나 사용한계가 커질수록 우측으로 분포하여 α를 최초로 통과하는 사건이 늦게 발생함을 알 수 있다. 이는 사용한계를 크게 설정할수록 α를 최초로 통과하는 시간은 늦어지나 파괴한계와의 여유가 작아 사용한계 통과시간 이후에 일찍 파괴한계에 도달 될 수 있다는 의미도 된다. 이를 살펴보기 위하여 Fig. 2(c)α = 14.0 의 파괴한계를 최초로 통과하는 WP의 확률밀도함수를 함께 제시하였다.
또한 Fig. 3α를 최초로 통과하는 사건의 발생확률을 시간에 따라 제시하였다. WP와 GP의 결과를 함께 비교하였는데 α = 6.0 인 경우와 α = 8.0 인 경우는 각각 약 12년과 35까지는 GP가 더 큰 확률을 보이지만 그 후에는 WP가 더 큰 확률을 보인다. 그러나 α = 10.0 인 경우는 내구년수 50년 동안 내내 GP의 확률이 WP의 그것보다 더 크다.
한편 해석을 위해서는 CF(t)와 CP도 정의해야 하는데 CF는 계획된 시간에 S = α 에 대하여 수행되는 완전 보수보강 비용이기 때문에 상수로 고려할 수 있다. 그러나 CF(t) 는 Fig. 1에서 설명한 바와 같이 예상치 못한 시간에 사용한계를 초과하는 경우에 사용한계를 초과하는 범위 Z(t) ≡ S > α 에 따라 즉시 수행되어야 하는 완전 보수보강 비용이다. 따라서 이들 관계가 모두 고려되어야 하는데 본 연구에서는 다음 식 (20)을 사용하였다.
(20)
CF(t)={1+c1[Z(t)α]c2}CP
식 (20)은 누적피해수준 Z(t) ≡ S = α 인 경우는 CP로 완전 보수보강을 하며, S > α 인 경우는 피해수준에 따라 보수보강 비용이 증가한다는 개념에 의하여 본 연구에서 제안한 식이다. 이미 앞에서 설명하였듯이 ABM 모형을 CBM 모형으로 쉽게 확장하기 위하여 누적피해수준과 보수보강 비용의 관계식을 제안한 것이다. 그러나 계수 c1c2 가 올바로 결정되어야 한다. 이를 위하여 본 연구에서는 다음과 같은 개념을 사용하였다.
앞에서 언급하였듯이 Z(t) = α 인 경우는 CF(t) = CP가 되어야 하고 Z(t) = α + 1인 경우는 CF(t) > CP를 만족하여야 하며, 물리적으로 c1 > 1.0 이 되어야 한다. 수학적으로 CF(t)/CP의 최소정수가 3이라는 의미이기 때문에 c1 = 2.0 가 되어야 한다.
이는 누적피해가 일단 사용한계를 초과하면 작업시간 및 규모의 증가로 인해 보수보강 비용이 증가한다는 의미이다. 한편 식 (20)에서 Z(t)가 파괴한계에 도달한다는 것은 물리적으로 구조물이 파괴된다는 것을 의미한다. 따라서 식 (20)은 파괴가 발생하여 복구하는데 소요되는 비용을 의미한다. 앞에서 언급하였듯이 기존 ABM 모형에서는 이와 같은 복구비용을 CF/CP = 50처럼 예방적 유지관리를 위한 보수보강 비용의 몇 배와 같이 상수로 고려하였다. 따라서 식 (20)은 이와 같은 조건을 만족해야 한다. 이를 이용하여 계수 c2를 결정할 수 있는데 c1 과는 다르게 c2 는 사용한계 α와 복구비용에 따라 다르게 산정된다. Z(t) = 14 인 파괴시 복구비용이 CP 의 50배인 경우에 대하여 먼저 해석하였다. α = 6 인 경우는 c2 = 1.54 이며, α = 8 과 10인 경우는 각각 c2 = 1.79 와 2.31이 된다.
그러나 식 (20)을 바로 사용하기에는 아직 해결해야 할 문제가 남아 있다. 이는 누적피해수준 Z(t) 가 시간에 따라 변하는 확률변수이기 때문에 CF(t)도 확률변수가 된다는 것이다. 따라서 식 (20)을 식 (14)에 대입하기 위해서는 다음 식 (21)과 같이 정의되는 기댓값을 사용하여야 한다.
(21)
E[CF(t)]=CP{1+c1α[Z(t)α]c2fZ(t)(z)dz}
여기서 fZ(t)(z)는 누적피해수준의 확률밀도함수로 WP의 경우는 식 (15)를, GP의 경우는 식 (18)을 만족한다. CP = 1의 비용단위에 대하여 식 (21)에 의하여 산정된 시간에 따른 기대비용을 Fig. 4에 제시하였다. 그림에서 보듯이 시간이 진행함에 따라 기댓값이 커지는 것을 알 수 있다. 또한 사용한계 α가 작을수록 크게 나타난다. 이는 시간이 진행될수록 누적 피해가 커지면서 사용한계가 작으면 쉽게 초과한다는 것을 의미한다. 특히 Fig. 4(a)는 WP, Fig. 4(b)는 GP의 결과인데 GP의 결과가 상대적으로 더 크다. 이는 GP의 누적피해의 분포함수가 WP의 정규분포보다 꼬리 부분이 더 넓게 분포하여 시간에 따른 불확실성이 더 크기 때문이다.
따라서 Fig. 3Fig. 4의 결과를 식 (14)에 대입하면 유지관리와 관련한 기대총비용율을 시간의 함수로 쉽게 산정할 수 있다. 이미 앞에서 설명하였듯이 유지관리에서 가장 중요하게 결정하여야할 사항은 언제, 얼마의 규모로 유지관리를 실시하는 것이 가장 경제적인가? 하는 것이다. 본 연구에서는 보수보강의 규모를 완전보수로 가정하였다. 완전보수란 보수보강이 실시되면 구조물은 처음 시공 당시와 동일한 수준으로 완전히 갱신된다는 개념이다. 따라서 유지관리를 가장 경제적으로 할 수 있는 최적의 시점만 결정하면 된다.
먼저 WP에 의하여 계산된 결과를 Fig. 5에 제시하였다. 사용한계의 변화와 시간에 따른 비용의 가치변화에 따른 영향을 함께 해석하였다. 시간에 따른 기대총비용율을 나타낸 것으로 기대총비용율이 최소가 되는 시점이 예방적 유지관리의 최적시점이 된다. 사용한계가 커짐에 따라 최적시점은 늦어지면서 기대총비용율이 낮아짐을 확인 할 수 있다. 한편 동일한 사용한계에서 이자율이 높아질수록 최적시점 또한 늦어지고 그에 따라 기대총비용율도 낮아진다. 이와 같은 경향은 사용한계가 높아질수록 두드러진다.
동일하게 GP를 이용하여 계산한 결과도 Fig. 6에 제시하였다. 전반적 경향이 Fig. 5와 유사하나 WP 보다는 보수적으로 최적시점을 예측함을 알 수 있다. 이를 좀 더 자세히 살펴보기 위하여 r = 5%인 경우에 대한 WP와 GP의 결과를 Fig. 7Table 1에 비교하였다. 특히 Table 1에 제시된 결과는 기대총비용율이 최소가 되는 예방적 유지관리의 최적시점 T*이다.
이상의 결과는 구조물이 파괴될 경우의 복구비용이 50CP 인 경우에 대한 결과이다. 그러나 복구비용은 구조물의 중요도에 따라 달라질 수 있다. 중요도가 높은 경우는 파괴에 따른 간접비가 더 커질 수 있기 때문에 파괴시 복구비용이 CP의 100배 또는 500배가 될 수도 있다. 이 경우들에서도 c1 = 2.0 으로 일정하지만 c2는 파괴시 복구비용에 따라 달라진다. 사용한계 α = 6 인 경우는 복구비용이 100CP 인 경우의 c2 = 1.88 이며, 500CP인 경우의 c2 = 2.65 가 된다. 이에 대한 WP와 GP의 해석 결과를 Fig. 8Table 2에 에 제시하였다. 각각의 결과에서 쉽게 알 수 있듯이 구조물의 중요도가 클수록 더 자주 예방적 유지관리를 실시하여야 한다. 본 해석조건에서는 최소 1.5년에서 4.2년까지도 차이가 난다. 따라서 본 연구에서 개발된 모형은 구조물의 중요도에 따라서도 예방적 유지관리의 최적시점을 올바로 결정할 수 있다.

6. 결 론

추계학적 확률과정을 이용하여 경사제 피복재를 예방적으로 유지관리할 수 있는 조건기반 모형을 개발하였다. 보수보강이 실시되면 구조물은 처음의 수준으로 완전히 갱신된다는 조건에서 가장 경제적으로 보수보강 되어야 하는 최적의 시점을 결정할 수 있는 모형이다. 본 연구에서 개발된 RRP 기반 경제성 모형은 이자율을 고려할 수 있을 뿐만 아니라 기존 연구에서는 고려하지 못했던 구조물의 중요도도 고려하여 해석할 수 있다.
개발된 모형을 임의의 경사제 사석재에 적용하기 위하여 두 가지의 추계학적 확률과정, WP와 GP를 이용하였다. 먼저 사용한계를 처음으로 통과하는 분포함수의 거동특성을 해석하였다. 두 결과를 비교하면 GP에 의한 결과가 WP의 결과보다 최빈값이 일찍 발생하나 크기는 작아 꼬리부분이 넓게 분포하여 불확실성이 더 큰 것으로 확인 되었다. 이는 WP의 특성에서 비롯되는 것으로 판단된다. WP는 누적피해가 항상 일정한 방향을 증가되는 것이 아니라 순간적으로 증가와 감소를 반복하기 때문이다. 따라서 WP보다는 GP가 더 바람직한 것으로 판단된다. 다만 변동계수가 작은 경우는 수치해석의 편리성 측면에서 WP를 사용할 수도 있다.
한편 본 연구에서는 기존의 연구에서는 상수로 고려하던 비용을 시간에 따른 확률변수로 고려하여 해석하였다. 누적피해와 사용한계 그리고 구조물의 중요도를 모두 고려할 수 있는 관계식을 제시하여 ABM을 CBM으로 쉽게 확장할 수 있게 하였다. 또한 관계식에 포함된 계수들을 수학적으로 산정할 수 있는 방법도 제시하였다.
마지막으로 추계학적 확률과정 별로 사용한계, 이자율 그리고 구조물의 중요도에 따라 시간에 따른 기대총비용율을 산정하여 기대총비용율이 가장 작은 예방적 유지관리의 최적시점을 쉽게 산정할 수 있었다. 사용한계가 커짐에 따라 최적시점은 늦어지면서 기대총비용율은 낮아진다. 또한 동일한 사용한계에서 이자율이 높을수록 최적시점은 늦어지고 그에 따라 기대총비용율도 낮아졌다. 이와 같은 경향은 사용한계가 높아질수록 두드러졌다. 이와 같은 경향은 WP와 GP에서 동일하게 나타났으나 상대적으로 GP가 더 보수적인 최적시점을 예측하였다. 따라서 안정적인 측면에서는 WP 보다 GP를 사용하는 것이 바람직하다. 마지막으로 동일한 조건에서 구조물의 중요도가 높을수록 더 자주 보수보강을 실시하여야 한다.
따라서 RRP 기반 경제성 모형을 근간으로 본 연구에서 개발한 조건기반 모형을 추계학적 확률과정과 결합하면 다양한 항만 구조물들의 예방적 유지관리에 필요한 중요한 자료를 비교적 쉽게 얻을 수 있다. 비록 본 연구에서는 경사제 사석재만을 해석하였지만, 동일한 개념을 혼성제 케이슨의 활동량 등 기타 구조물이나 파괴모드에 대하여도 향후 확대 적용할 수 있다. 또한 제안된 모형의 적용성을 높이기 위해서는 실제 자료를 이용한 실증적 연구가 필요하다.

Fig. 1.
Renewal policy.
jkscoe-28-4-191f1.tif
Fig. 2.
Comparison of probability density functions of the first time crossing the serviceability limit α.
jkscoe-28-4-191f2.tif
Fig. 3.
Comparison of the occurrence probabilities of an event crossing the serviceability limit α.
jkscoe-28-4-191f3.tif
Fig. 4.
E[CF(t)] calculated by Wiener process and gamma process using Eq. (21).
jkscoe-28-4-191f4.tif
Fig. 5.
Expected cost rate evaluated by Wiener process for various serviceability limits α and interest rates r.
jkscoe-28-4-191f5.tif
Fig. 6.
Expected cost rate evaluated by gamma process for various serviceability limits α and interest rates r.
jkscoe-28-4-191f6.tif
Fig. 7.
Comparison of the expected cast rates evaluated by Wiener process and gamma process for various serviceability limits.
jkscoe-28-4-191f7.tif
Fig. 8.
Comparison of the expected cast rates for various replacement costs.
jkscoe-28-4-191f8.tif
Table 1.
Optimal periods estimated by Wiener process and gamma process for various serviceability limits.
Stochastic process Wiener process Gamma process

T* (year) T* (year)
α =6.0 14.31 12.86
r =5%
α =8.0 36.96 26.66
r =5%
α =10.0 71.56 42.11
r =5%
Table 2.
Optimal period estimated by Wiener process and gamma process for various replacement costs
Stochastic process Wiener process Gamma process

T* (year) T* (year)
α =6.0
r=5%
50CP 14.31 12.86
100CP 13.86 11.41
500CP 12.81 8.66

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