2.1 기초방정식

3차원불규칙파수치파동수로에 기초한 본 연구의 3D-NIT모델은 기존의 2차원수치파동수로의 계산수법을 기본으로 3차원으로 확장한 것이며, 자유수면 해석모델에 VOF법을, 난류해석에는 k−ε모델을 각각 적용하였고, 3차원수치파동수로의 기초방정식은 3차원비압축성의 점성유체를 대상으로 한 연속식 및 Navier-Stokes방정식을 PBM (Porous Body 모델)에 근거하여 확장한 다음의 식(1)~(4)와 같이 주어진다.

여기서, t는 시간, x, y는 수평방향좌표, z는 연직방향좌표, u,v, w는 x, y, z방향의 유속성분, ρ는 유체밀도, p는 유체 압력, v_e는 분자동점성계수 v와 와점성계수 v_t의 합, g는 중력가속도, γ_v는 체적공극율, γ_x, γ_y, γ_z는 x, y, v방향의 면적공극율D_x, D_y, D_z는 경계에서 반사파의 제어를 위해 설치한 스폰지층에서의 에너지감쇠계수, S_p, S_u, S_v, S_w는 해석영역내의 조파를 위한 조파소스항, λ_v, λ_x, λ_y, λ_z는 구조물에 의한 관성력효과를 나타낸 파라미터로 다음의 식 (5)와 같이 표현된다.

여기서, C_M은 관성력계수, R_x, R_y, R_z는 투과층에서 저항력으로 식(6)과 같이 주어진다.

여기서, C_D는 항력계수, Δx, Δy, Δz는 x, y, z방향의 격자간격이다.

본 연구에서는 이상의 기초방정식에 기초한 3D-NIT모델을 적용하여 규칙파 및 불규칙파에 의한 OWC파력발전구조물에서 공기흐름속도 및 수위변동 등의 해석을 수행하였다. 대상의 구조물은 불투과성이기 때문에 실제의 수치계산에서는 체적공극율, 면적공극율 및 투과층 내에서 저항력 등은 무시되었고, 또한 계산영역의 양측면과 바닥에는 불투과경계조건이 적용되었다.

2.2 3차원수치파동수로에서 불규칙파의 조파

3D-NIT모델을 적용하여 불규칙파를 검토하는 경우에 조파지점에서의 수위변동 및 물입자속도(수평 및 연직유속)을 사용자가 독자적으로 입력데이터로 작성할 필요가 있다. 일반적으로 불규칙파랑은 선형이론으로부터 얻어진 규칙파의 중첩으로 조파되지만, 해석시간이 증가됨에 따라 평균수위가 상승하는 문제가 발생하여 계산이 불가능하게 된다.

본 연구에서는 3D-NIT모델을 이용하여 불규칙파를 검토하는 경우에 문제로 지적되는 평균수위상승을 억제하면서 안정적으로 불규칙파가 조파될 수 있는 시스템을 기술(Fujiwara, 2005; 이, 2007)하며, Goda의 방법(1985)에 따른 불규칙파의 조파방법도 간략히 기술한다. 규칙파의 조파방법은 선형이론으로부터 얻어진 성분파의 주파수에 하나씩 순번을 붙여서 이를 무한급수의 합으로 고려하는 것이다. 조파지점에 있어서는 수면파형η, 수평 및 연직 유속(u, v)의 시간적인 변동이 필요하게 되며, 이들은 각각식(7)~(9)로 주어진다.

여기서, ε_m은 random한 위상각, f_m은 주파수, a_m은 진폭, k_m은 파수, M은 성분파의 수, h는 수심이다. 단, 연직좌표 z는 정수면에서 윗방향을 (+)로 취하고, ε_m 및 f_m의 선택방법은 후술되며, 진폭 a_m은 다음의 식 (10)으로 정의된다.

여기서, Δf는 주파수폭, S(f)는 파랑에너지밀도이며, 불규칙파의 스펙트럼은 불규칙파를 모의하는 데에 널리 사용되고 있는 식(11)의 Bretschneider and Mitsuyasu스펙트럼(Mitsuyasu, 1970)을 적용하였다.

여기서, H_1/3은 유의파고, T_1/3은 유의파주기를 각각 나타낸다. 일반적으로 수치해석을 통해 불규칙파를 검토하는 경우 전술한 바와 같이 해석시간이 증가됨에 따라 평균수위가 상승하는 문제가 지적되어 있다(CDIT, 2001). 본 연구에서는 평균 수위상승을 억제하는 방법으로 조파지점에서 수평유속을 산출할 때 각 성분파에 대응하는 Stokes파의 질량수송속도를 뺀 다음의 식(12)를 적용한다(Fujiwara, 2005; 이, 2007).

여기서, Stokes파의 질량수송속도 은 성분파를 나타내는 m을 제외하여 나타내면 다음의 식(13)과 같이 주어진다.

여기서, _m은 물입자의 평균위치를 나타낸다.

2.3 주파수의 선택방법

불규칙파를 모의하기 위한 주파수 f_m의 선택방법에는 주파수 스펙트럼을 등구간으로 분할하는 방법과 각각의 성분파의 진폭이 거의 같도록 하는 등에너지로 분할하는 방법 등이 있다. 본 연구에서는 에너지밀도함수인 Bretschneider and Mitsuyasu스펙트럼(Mitsuyasu, 1970)을 대상으로 성분파의 에너지를 균둥하게 고려하기 위해 Goda(1985)가 제안한 등에너지로 스펙트럼을 분할하는 다음의 식 (14)를 이용하여 주파수 f_m을 선택하였다.

3.1 해수교환구조물에 의한 파랑변형율

본 절에서는 3D-NIT모델에 의한 3차원수치파동수로에서 파랑과 구조물과의 상호간섭현상에 대한 타당성을 검증하기 위하여 Nakamura(1999)가 제시하고 있는 Fig. 1의 해수교환구조물의 반사율 및 전달율에 대한 수리모형실험 및 수치모형실험의 결과(Nakamura et al., 2003)와 비교ㆍ검토하며, 이와 병행하여 CADMAS-SUFR(沿岸開發技術硏究センタ, 2001)에 의한 수치해석도 수행하여 그 결과를 함께 제시한다.

Fig. 1

Definition sketch of the numerical wave tank with the water exchange structure.

수치해석의 검증을 위하여 본 3차원수치파동수로는 Nakamura(1999)가 수행한 수리 및 수치해석조건과 동일한 입사파랑(규칙파)의 제원으로 구성되었으며, Figs. 2,3에 해수교환구조물에 의한 반사율K_r, 전달율 K_t를 파장 L과 유공부의 폭 B와의 비인 L/B에 대해 산정된 결과를 제시한다. Fig. 2의 결과를 살펴보면, 반사율의 경우 입사파고 H = 5 cm와 H = 10 cm에 대한 실험치(Nakamura, 1999; Nakamura et al., 2003), CADMAS-SUFR(沿岸開發技術硏究センタ, 2001)에 의한 수치해석치 및 본 해석결과 모두 공진현상이 나타나는 L/B = 9.56의 값에서 최소치를 취하고, L/B의 양측으로 갈수록 반사율이 증가하는 경향을 나타낸다. 또한, L/B = 11.76~14.44인 비교적 장주기파랑의 경우에 기존의 실험결과와 거의 동일한 결과를 나타내고 있으며, L/B = 5.84~9.56 인 비교적 단주기파랑의 경우에 수치해석치가 기존의 실험치보다 약간 높은 결과를 나타낸다. 이는 계산영역을 크기가 일정한 직사각형의 격자로 분할하는 과정에서 단주기파랑 및 장주기파랑을 모의하는 격자크기를 동일하게 설정하였기 때문이라 판단되지만, 실험치와의 대응성은 만족스러운 것으로 판단된다. Fig. 3의 결과를 살펴보면, H = 5 cm와 H = 10 cm에 대한 실험치(Nakamura, 1999; Nakamura et al., 2003), CADMAS-SUFR(沿岸開發技術硏究センタ, 2001)에 의한 수치해석치 및 본 해석결과 모두 L/B의 값이 커질수록 전달율이 증가하는 경향을 나타내며, 본 해석결과와 Nakamura et al.(2003)에 의한 실험치 및 CADMAS-SUFR(沿岸開發技術硏究センタ, 2001)에 의한 수치해석치의 대응성을 살펴보면, H = 5 cm및 H = 10 cm에 대해 모두 매우 잘 일치하는 것을 알 수 있다.

Fig. 2

Comparison of the reflection coefficients for the water exchange structure.

Fig. 3

Comparison of the transmission coefficients for the water exchange structure.

3.2 해수교환통수로에서의 평균유속

본 절에서는 3D-NIT모델에 의한 3차원수치파동수로에서 해수교환통수로에서의 유체흐름에 대한 타당성을 검증하기 위하여 전술한 Fig. 1의 해수교환통수로에서의 평균유속에 대한 수리모형실험의 결과와 비교ㆍ검토하며, 이와 병행하여 CADMAS-SUFR(沿岸開發技術硏究センタ, 2001)에 의한 수치해석도 수행하여 그 결과를 함께 제시한다. Fig. 3과 동일한 계산조건에 대하여 해수교환통수로에서의 평균유속을 파장 L과 유공부의 폭 B와의 비인 L/B에 대해 산정된 결과를 Fig. 4에 나타낸다. Fig. 4의 결과를 살펴보면, L/B = 10 이하인 비교적 단주기파랑의 경우에 (−)방향유 속의 경향이 미미하지만, L/B = 10 이상인 비교적 장주기파랑의 경우 (−)방향유속이 크게 나타나고 있으므로 해수교환의 효과가 큰 것으로 판단되며, 본 해석결과와 Nakamura et al.(2003)에 의한 실험치 및 CADMAS-SUFR(沿岸開發技術硏究センタ, 2001)에 의한 수치해석치의 대응성은 매우 만족스러운 것으로 판단된다.

Fig. 4

Comparison of the average velocity for the water exchange structure.

4.1 해수교환통수로에서의 유체흐름속도

3차원불규칙파동장하 해수교환통수로에서의 유체흐름속도의 시간변화 V를 Fig. 6에 제시한다. 전체적인 경향은 유의주기 및 유의파고가 클수록 해수교환통수로에서의 유체흐름속도가 크게 나타나고, 모든 경우에 일정시간 이후에 (+)방향의 유속이 전체적으로 크게 나타나는 것을 확인할 수 있다. 이러한 경향은 해수교환통수로 아래에 유수부를 갖는 경우(Fig. 1)에 대한 Fig. 4의 결과와는 상이하지만, 항내로 유입되는 유량이 크기 때문에 해수교환의 기능을 충분히 갖는 것으로 판단된다.

Fig. 6

Time variation of waterflow velocity in the water exchang path under the action of irregular waves.

4.2 파랑스펙트럼

3차원수치파동수로에 기초한 본 3D-NIT모델에 의한 불규칙파의 조파성능을 검토하기 위하여 Table 1의 파랑조건을 적용하여 Bretschneider and Mitsuyasu스펙트럼으로부터 불규칙파랑(주파수성분은 M = 150개)을 조파한다. 이로부터 조파위치에서 발생하는 수위변동에 의한 주파수스펙트럼(편리상 Target spectrum으로 칭함) 및 구조물이 존재하지 않을 때 구조물의 위치에서 수위변동에 의한 주파수스펙트럼(편리상 Incident spectrum으로 칭함)을 본 수치모델로부터 산정한 결과 및 입력조파스펙트럼(편리상 Input spectrum으로 칭함)을 각각 Fig. 7에 나타낸다.

Fig. 7

Comparison of input, target and incident frequency spectrums.

먼저, Input spectrum과 Target spectrum을 살펴보면 유의주기가 T_1/3 = 0.92, 1.05 sec인 경우는 주파수의 변화에 따른 두 스펙트럼의 변화과정은 거의 일치하는 것을 알 수 있고, 특히 첨두주파수에서 스펙트럼의 값도 거의 동일한 것을 알 수 있다. 그러나, 유의주기가 길어지는 Case 10와 12의 경우에는 주파수의 변화에 따른 두 스펙트럼의 변화과정은 거의 일치하지만, 첨두주파수에서 Target spectrum의 값이 약간 큰 것을 볼 수 있고, 특히 유의주기가 긴 경우에 이러한 현상이 명확히 나타나는 것을 알 수 있다. 이러한 결과는 근본적으로 Input spectrum인 Bretschneider and Mitsuyasu스펙트럼이 심해에서 주어지는 스펙트럼인 반면, 본 연구에서 주어진 상대수심이 천해이기 때문인 것으로 판단된다. 두 스펙트럼의 모양에는 차이가 있으나, 전체 면적이 유사하여 유의파고는 오차범위내에서 거의 같게 나왔다. 즉, 입력조파된 불규칙파랑의 유의주기 및 유의파고와 조파위치에서 발생하는 불규칙파랑의 유의주기 및 유의파고가 잘 일치되는 것으로 판단된다.

다음으로, 구조물이 존재하지 않을 때 조파된 불규칙파랑이 구조물이 위치하는 지점까지 전파된 경우에 수위변동으로부터 산정되는 Incident spectrum을 Target spectrum과 비교하면 전체적으로 Incident spectrum의 파랑에너지가 감쇠되고, 이러한 현상은 첨두주파수대에서 크게 나타나며, 특히 유의주기 및 유의파고가 큰 경우에 현저하게 나타나는 것을 알 수 있다. 이것은 조파된 Target spectrum이 수심이 얕은 수조상을 전파하면서 나타나는 파랑에너지의 분산에 의한 결과로, 첨두주파수대에서 고파랑에너지의 분산이 크게 나타나는 것으로 추산된다. 또 다른 원인으로는 유체점성에 의한 파랑에너지의 감쇠 등을 들 수 있을 것이다. 이상과 같이, 주파수의 변화에 따른 Input spectrum, Target spectrum 및 Incident spectrum의 각 변화특성 및 전파과정에서 나타나는 Target spectrum의 파랑에너지 분산과정 등의 특성이 일반 해안공학적인 사실과 잘 합치되는 것으로 판단된다.

다음의 Fig. 8은 해수교환용 OWC파력발전구조물의 설치유무에 따른 공기실 위치에서 수위변동으로부터 추산된 스펙트럼을 나타낸 결과이다. 제시된 모든 결과에서 구조물이 존재할 때 모든 주파수대에서 파랑에너지가 증대되는 것을 알 수 있고, 이는 첨두주파대 근방에서 최대로 나타나는 것을 확인할 수 있다. 이러한 결과로부터 공기실 내에서 다중반사 등에 의해 파고가 증폭되는 것을 알 수 있고, Nakamura and Nakahashi(2005)에 의하면 Piston mode의 공진에 의해 입사 파랑에너지를 포획하여 반사율을 감소시키는 결과로 귀착되는 것으로 알려져 있다. 또한, 이러한 Piston mode의 공진이 발생하면 공기실 내의 수위변동과 구조물 전면에서 수위변동에서는 큰 위상차가 발생하고, 반사율이 최소로 되는 주기대에서 180^o의 역위상이 발생한다는 사실이 지적되어 있다. 따라서, 공기실 내에서 발생하는 이러한 파고증폭으로 인하여 공기흐름의 유출부에서는 공기흐름속도가 증가되고, 결과적으로 파력발전의 유용성이 증대되는 결과로 이어질 것이다.

Fig. 8

Comparison of incident frequency spectrums for the cases of structure installed or not.

4.3 해수교환용 OWC파력발전구조물에서 공기흐름속도에 관한 주파수스펙트럼

먼저, 3차원불규칙파동장하 해수교환용 OWC파력발전구조물의 공기실 내에서 수치적으로 얻어지는 불규칙수면변동에 식 (15)를 적용하여 추산된 불규칙공기흐름속도의 시간변화V(cm/sec)를 불규칙수면변동 η(cm)과 함께 Fig. 9에 제시한다. 전체적인 경향은 유의주기 및 유의파고가 클수록 공기실 내에서 수위변동과 이에 따른 공기흐름속도가 크게 나타나고, 두 변동량의 시간변화에서는 항상 위상차이가 존재한다는 것을 알 수 있다. 이러한 결과는 식 (15)로부터도 알 수 있는 바와 같이 파봉과 파곡의 전후에서는 수위변동량이 나타나지 않기 때문에 공기흐름속도는 0으로 주어지고, 반면에 수위의 영점상향 혹은 하향교차점에서는 수위변동량이 크게 나타나므로 이에 따라 공기흐름속도가 크게 주어지기 때문이다. 그림에서는 이와 같은 관계가 규칙적으로, 그리고 반복적으로 표현되고 있는 것을 알 수 있다.

Fig. 9

Time variation of water level fluctuation and airflow velocity in the air-chamber under the action of irregular waves.

Fig. 9의 수위변동으로부터 추산된 공기흐름속도의 주파수스펙트럼을 수위변동의 주파수스펙트럼과 함께 Fig. 10에 나타낸다. Fig. 10의 결과를 살펴보면 공기흐름속도의 주파수스펙트럼 첨두치가 수위변동의 경우보다 약간 단주기측으로 이동된 결과를 나타낸다. 이것은 Fig. 9에서 언급한 바와 같이 두 변동량의 시간변화에서 위상차이가 존재하기 때문으로, 즉 수위변동의 크기가 바로 공기흐름속도로 변환되는 것이 아니라 수위변동의 시간변화율이 공기흐름속도로 변환되기 때문이다. 그리고, 수위변동의 시간변화량에서 일반적으로 동일한 유의파고의 조건하에서는 유의주기가 길수록 변환되는 공기흐름속도는 감소될 것이고, 반면에 동일한 유의주기의 조건하에서는 유의파고가 클수록 변환되는 공기흐름속도는 증가할 것으로 예측된다. 따라서, 이러한 사실에 근거하여 Fig. 10를 살펴보면 상대적으로 유의파고가 큰 경우가 수위변동의 시간변화로부터 공기흐름속도로 변환되는 비율이 크다는 것을 알 수 있다.

Fig. 10

Comparison of frequency spectrum for water level fluctuation and flow velocity.

Fig. 11에는 불규칙파랑에 대한 구조물의 반사율 K_r 및 전달율 K_t의 변화를 공기실 폭 B와 유의파장 L_1/3과의 비인 B/L_1/3의 변화에 대해 제시한다. 결과를 살펴보면 특정한 B/L_1/3=0.092에서 최소의 반사율을 나타내고, 좌우로 갈수록 반사율이 증가하는 경향을 나타내며, 유의주기 및 유의파고가 커질수록 전달율이 크게 나타난다.

Fig. 11

Reflection and transmission coefficient due to OWC wave power converter considering water exchange structure in irregular wave field.

4.4 공기흐름 및 유체흐름에 의한 평균동력

Fig. 9의 수위변동으로부터 추산된 공기흐름속도 및 해수교환통수로에서의 유체흐름속도에 다음의 식 (16)을 적용하여 산정한 평균동력 의 변화를 공기실 폭 B와 유의파장 L_1/3과의 비인 B/L_1/3의 변화에 대해 제시한다. 이 때, 공기흐름의 경우 양방향흐름의 발전이 가능한 Wells터빈에 의해 동력을 생산하기 때문에 양방향흐름을 고려한 반면, 유체흐름의 경우 (+)방향의 흐름만 적용하여 평균동력을 산정한다.

여기서, 는 평균동력, t는 시간, ρ는 공기 및 유체밀도(공기밀도: 1.23 kg/m³유체밀도: 1000 kg/m³), A는 터빈부의 회전면적(공기터빈부의 회전면적: 0.001257 m², 유체터빈부의 회전면적: 0.045 m²) V는 공기흐름 및 유체흐름속도를 나타낸다. 유체흐름에 의한 발전방식은 해수교환통수로에서의 유체흐름속도를 이용한 발전형식이며 동력 산정시 터빈에 의한 저항은 무시하였다. 유의주기 T_1/3및 유의파고 H_1/3의 변화에 따른 공기 및 유체흐름에 의한 평균동력 의 변화를 Figs 12 , 13 에 각각 나타낸다.

Fig. 12

Average power generated from of air flow

Fig. 13

Average power generated from water flow

그림에서 주어지는 전체적인 경향은 두 경우 모두 유의주기가 길수록 평균동력이 커진다는 것을 알 수 있으며, 공기흐름에 의한 평균동력이 유체흐름에 의한 평균동력보다 크다는 것을 알 수 있다. 이는 유체의 밀도 및 터빈부의 면적이 공기의 밀도 및 터빈부의 면적보다 크지만, 공기흐름의 속도가 유체흐름의 속도보다 크기 때문이다. 즉, 동력은 흐름속도의 3제곱에 비례하므로 흐름속도가 2배가 되면 동력은 8배가 되기 때문이다.