2.1 지배방정식

본 연구에서는 Delft 대학에서 개발한 비정수압 수치모형인 SWASH(Surface WAves till SHore; Zijlema et al., 2011)를 사용하였다. SWASH 모형은 비정수압 보정항(nonhydrostatic pressure correction term)이 추가된 비선형 천수 방정식을 지배방정식으로 하고 있으며 지배방정식은 다음과 같다.

여기서 ζ는 자유수면 변위, h는 수심, u(x, z, t)과 w(x, z, t)는 각각 수평방향, 수직방향 유속, ρ는 물의 밀도, ph는 정수압, p_nh는 비정수압, τ_xx, τ_xz, τ_zx, τ_zz는 난류 응력이다. SWASH 모형은 Keller-box기법을 이용해 자유수면 위치의 압력 경계 조건을 손쉽게 정의하고 있으며, Stelling and Zijlema(2003), Stelling and Duinmeijer(2003), Zijlema and Stelling(2005, 2008), Smit et al.(2013) 등의 연구자들에 의해 충분히 검증되었고 많은 문헌에 소개되어 있다. 따라서 수치모형에대한 자세한 내용은 그 문헌들로 대신한다.

3.1 수치모형의 검증 - 고립파 쇄파 실험

본 연구에서 적용된 수치모형의 검증을 위해 Synolakis(1986, 1987)에 의해 수행된 고립파의 수리실험을 재현하였다. Synolakis(1986, 1987)는 수리실험을 통해 Fig. 1과 같은 경사지형에서 고립파의 전파과정과 쇄파 및 비쇄파조건에 따른 최대 처오름높이를 제시하고 최대 처오름높이를 산정하는 공식을 제안하였다. Fig. 1에서 h는 수심, H는 파고, β는 경사도, R은 처오름높이를 나타낸다. 바닥 경사(1:19.85, cot(β) = 19.85)에서 다양한 수심과 파고를 이용해 수리실험을 수행하였으며, 보다 자세한 정보는 Synolakis(1986, 1987)를 참조할 수 있다. 본 연구에서는 Synolakis(1986, 1987)가 제시한 쇄파(H/h = 0.3) 및 비쇄파(H/h = 0.0185) 조건을 재현하였으며, 수치실험에 사용한 수심, 파고, 격자조건은 Table 1에 나타내었다.

Fig. 1.

Definition sketch for simple beach bathymetry (from Synolakis (1987)).

Table 1.

Simulation condition of a solitary wave runup on a simple slope

고립파는 Shin and Yoon(2017, 2018)의 이완법(relaxation method)을 이용해 조파하였으며, 이완영역(relaxation zone) 내에 부가되는 부가되는 매 시간 단계의 수면변위는 Wang(1993)의 식을 이용하였다. 고립파가 계산 영역 내로 잘 전파되는지 확인하고자 Table 1과 동일한 수심 및 계산격자 조건을 이용해 경사지형이 없는 상태로 파고 H = 0.1 m에 대해 수치실험을 수행하였다. 다음 Fig. 2는 이완영역을 제외한 계산 영역에서 시간에 따른 수면변위를 나타낸 결과이다. 고립파가 이완영역을 통과한 이후부터를 t = 0으로 산정하였으며, 고립파의 파형이 잘 유지되면서 계산 영역 전체로 잘 전파하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 2.

Propagation of solitary wave (h =1.0m, H =0.1m).

Synolakis(1986, 1987)의 수리실험 결과는 National Tsunami Hazard Mitigation Program(NTHMP)에서 제공하는 자료를 활용하였으며, 수리실험과 수치실험 결과를 비교하기 위해 처오름높이는 수심(h)으로, 시간단위는 T=t-t0h/g로 무차원화하였다. 여기서 t₀는 고립파 파면(wave front)이 경사지형에 도착한 시간이다. Fig. 3과 Fig. 4는 각각 비쇄파 및 쇄파 조건의 수치실험과 수리실험 결과를 비교하여 도시하였다. Fig. 3 비쇄파 조건의 경우, 수심 감소에 따른 파고 증가 후 쇄파 발생 없이 처오름 현상이 발생하고, 시간 경과 후 경사지형에 의한 반사로 인해 처내림 현상이 시작되는 걸 확인 할 수 있다. 반면 Fig. 4 쇄파 조건의 경우, 수심이 감소함에 따라 파고가 증가하다가 쇄파가 발생하면서 파고가 급격히 감소된 후 경사지형을 따라 처오름 현상이 시작되는 것을 확인할 수 있다. 전체적으로 비쇄파 및 쇄파 조건 모두 수치실험 결과가 수리실험 결과를 매우 잘 재현하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 3.

Measured (circles) and calculated (lines) free surface profiles at different dimensionless time for H/h = 0.0185.

Fig. 4.

Measured (circles) and calculated (lines) free surface profiles at different dimensionless time for H/h =0.3.

동일한 바닥 경사 cot(β) = 19.85에서 고립파의 파고의 변화에 따른 최대 처오름높이를 수치실험하고 Synolakis(1987)가 제안한 최대 처오름높이 공식과 비교하였다.

Synolakis(1987)는 다양한 경사에서 고립파의 파고에 따른 최대 처오름높이 변화를 분석해 비쇄파 조건에서의 최대 처오름높이를 산정하는 해석해를 제안하였다. Synolakis(1987)가 제안한 공식은 다음과 같으며, 일반적으로 식(5)는 식(6)과 같은 조건이 충족된 경우에 바람직한 결과를 제공하는 것으로 알려져 있다.

쇄파조건의 경우에는 최대 처오름높이를 산정하는 해석해가 존재하지 않는다. Synolakis(1987)는 파고대 수심의 비가 H/h = 0.005~0.665인 77개의 서로 다른 고립파를 이용해 최대 처오름높이를 측정하고 다음과 같은 경험식을 제안하였다.

Fig. 5는 수치실험 결과와 Synolakis(1987)가 제안한 해석해 및 경험식을 함께 비교하여 로그 스케일(Log scale)로 도시하였다. 전반적으로 비쇄파 및 쇄파 조건 모두 Synolakis(1987)의 해석해 및 경험식과 잘 일치하는 것을 확인할 수 있으나, 쇄파가 발생하지 않는 한계파고 조건 부근에서는 최대 처오름높이가 과소평가 되고 있는 것을 확인할 수 있다. 본 연구에서 사용한 SWASH 모형은 별도의 쇄파모델을 사용하지 않고 수직 파면의 에너지 소산 메커니즘에 따라 쇄파가 발생하고 이는 쇄파 전면에서 정확한 양의 에너지 소모로 이어진다(Zijlema et al., 2011). 그러나 쇄파가 발생하지 않는 한계파고 조건에서는 이러한 방식으로 정확한 양의 에너지가 소산되지 않는 것으로 예상된다. 오히려 쇄파로 인한 에너지 소산이 과대평가되어 최대 처오름높이가 다소 작게 계산된 것으로 보여진다. 그러나 다소 오차가 있음에도 전체적으로 최대 처오름높이를 정확도 높게 계산하고 있어 SWASH 모형은 고립파와 같은 비선형 파랑의 쇄파와 처오름을 예측하는데 적합한 것으로 판단된다.

Fig. 5.

Runup heights of solitary wave on a slope.

3.2 수치모형의 검증 - 고정된 사각형 수중 및 부유식 구조물에 의한 고립파의 변형 실험

본 연구에서 사용한 수치모형을 검증하기 위해 Lin(2006)에 의해 수행된 고정된 사각형 수중 및 부유식 구조물에 의한 고립파의 변형 수치실험을 재현하였다. Lin(2006)은 수치실험을 통해 Fig. 6과 같은 위치(x = 30.0 m)에 고정된 사각형 수중 및 부유식 구조물을 설치하고 각각 x = 1.0 m, 32.5 m, 59.0 m에서 자유수면변위를 관측하였다. 수중 구조물은 바닥으로부터 높이 0.6 m, 폭 5.0 m, 부유식 구조물은 수면으로부터 바닥으로 높이 0.4 m, 폭 5.0 m이며 수면위로는 월파가 발생하지 않도록 충분히 높게 구성하였다. 보다 자세한 정보는 Lin(2006)을 참조할 수 있다. 본 연구에서 수치실험에 사용한 수심, 파고, 격자조건은 Table 2에 나타내었다.

Fig. 6.

Schematic view of numerical model for a solitary wave passing over the submerged and floating rectangular obstacles.

Table 2.

Simulation condition of a solitary wave passing over obstacles

Fig. 7은 고정된 사각형 수중 구조물에 대해 Fig. 6의 각 지점에서의 시간에 따른 자유수면변위를 Lin(2006)의 수치실험결과와 비교하여 도시하였다. Gauge 1은 구조물 전면, Gauge 2는 구조물의 중간, Gauge 3은 구조물 후면 위치에서의 자유수면변위를 나타낸다. Gauge 1에서 확인할 수 있듯이 고립파가 목표 파고에 맞게 잘 전파되고 수중 구조물을 통과하면서 일부가 반사되는 것을 확인할 수 있다. Gauge 2에서는 수중 구조물을 통과하면서 파고가 증폭되는 것을 볼 수 있으며, Gauge 3에서는 구조물을 통과한 고립파의 꼬리부분에서 파고가 감소되는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 7.

Comparisons of time histories of free surface displacement for the submerged obstacle.

Fig. 8은 부유식 구조물에 대해 Fig. 6의 각 지점에서의 시간에 따른 자유수면변위를 Lin(2006)의 수치실험결과와 비교하여 도시하였다. 부유식 구조물의 경우 월파가 발생되지 않는 조건으로 Gauge 2의 자유수면변위가 존재하지 않아 결과에서 제외하였다. Gauge 3에서는 구조물을 통과한 고립파의 파고 크기가 크게 줄어든 것을 확인할 수 있다. 이러한 결과로부터 동일한 부피의 구조물인 경우, 부유식 구조물이 수중 구조물 보다 파랑 에너지를 소산시키는 효과가 뛰어나다는 것을 알 수 있다.

Fig. 8.

Comparisons of time histories of free surface displacement for the floating obstacle.

본 연구의 수치실험 결과가 Lin(2006)의 수치실험 결과를 매우 잘 재현하는 것을 확인할 수 있다. 이러한 결과로부터 SWASH 모형은 사각형 수중 및 부유식 구조물에 의한 고립파의 변형을 계산하는데 적합한 것으로 판단된다.

3.3 고정된 사각형 수중 및 부유식 구조물에 의한 고립파의 처오름 저감 수치실험

본 연구에서는 앞서 검증된 수치모형을 이용해 경사지형 앞에 고정된 사각형 수중 및 부유식 구조물이 위치할 때 고립파의 처오름높이 변화를 검토하였다.

수치실험에 사용한 수치수조는 Lin(2006)의 수치실험 조건을 참고해 고립파 조파를 위한 이완영역을 제외한 계산영역의 수치수조의 길이는 100 m이고 수심 1.0 m이며 60 m 위치에서부터 바닥 경사 cot(β) = 19.85의 경사지형을 만들어 Fig. 9와 같이 수심을 구성하였다. 계산영역의 수치수조 30 m 지점에 고정된 사각형 수중 및 부유식 구조물을 위치하도록 구성하였으며 부유식 구조물은 수면위로 월파가 발생하지 않도록 충분히 높게 구성하였다. 수치실험에 사용한 수심, 파고, 격자조건은 Table 3에 구조물 제원은 Table 4에 나타내었다.

Fig. 9.

Schematic view of numerical model setup for a solitary wave passing over submerged and floating rectangular obstacles.

Table 3.

Simulation condition of the run-up of a solitary wave after passing over obstacles

Table 4.

Specifications of submerged and floating obstacles

Fig. 10은 사각형 수중 구조물의 형상에 따른 고립파의 처오름높이 변화를 나타낸 결과이다. 수중 구조물의 종방향 길이(a)가 0.6 m 미만인 경우에는 종방향의 길이 변화에 따른 처오름높이 변화가 거의 나타나지 않았고, 수중 구조물의 횡방향 길이(b)가 증가함에도 처오름높이 변화는 매우 미미하였다.

Fig. 10.

Runup heights of solitary wave after passing over a fixed submerged rectangular obstacle.

수중 구조물의 종방향 길이가 0.6 m 이상일때는 처오름높이가 크게 감소하는 것을 확인할 수 있으나, 횡방향 길이가 작은 경우에는 처오름높이 변화가 거의 나타나지 않았다. 수중 구조물의 횡방향 길이 변화에 따른 처오름높이 변화는 크지 않은 것으로 나타났으며, 이는 횡방향 길이가 길지 않은 경우 고립파의 분산효과가 크지 않아 나타난 것으로, 이는 Ha et al.(2012)의 수치실험 결과와 동일한 결과이다. 이러한 결과로부터 수중 구조물의 종방향 길이가 길지 않은 경우에는 구조물의 횡방향 길이는 처오름높이 변화에 유의미한 영향을 미치지 않는 것으로 보여진다. 구조물의 횡방향 길이가 증가함에도 처오름높이가 크게 감소하지 않는 이유는 수중 구조물을 통과하면서 발생하는 천수효과로 인해 고립파의 파고가 증폭되어 나타난 결과로 보여지며, 구조물의 종방향 길이가 0.6 m 이상일때는 처오름높이가 크게 감소하는 것은 고립파가 수중 구조물을 통과하면서 파봉이 분리되어 나타난 현상으로 예상된다.

Fig. 11은 고정된 사각형 부유식 구조물의 형상에 따른 고립파의 처오름높이 변화를 나타낸 결과이다. 부유식 구조물의 종방향 길이(a)가 작은 경우에도 처오름높이가 감소하나, 횡방향 길이(b)가 작은 경우에는 처오름높이 변화가 거의 나타나지 않았다. 그러나 횡방향 길이가 5 m에서 10 m로 증가되자 종방향 길이 작음에도 처오름높이가 감소하는 것을 확인할 수 있다. 특히 구조물의 종방향 길이가 0.6 m 이상일때는 처오름높이가 크게 감소하는 것을 확인할 수 있다. 이는 수중 구조물과 달리 부유식 구조물의 경우, 종방향 길이가 작음에도 처오름높이가 크게 저감되는 것은 부유식 구조물이 파랑 에너지를 소산시키는 효과가 뛰어나 나타난 결과로 보여진다. 수중 구조물과 달리 부유식 구조물의 경우 횡방향 길이가 증가할 수록 처오름높이가 감소되는 것을 볼 수 있다. 이러한 결과로부터 처오름높이는 부유식 구조물의 횡방향 길이 변화에 유의미한 영향을 받는 것으로 보여진다. 이는 부유식 구조물의 경우 수중 구조물과 달리 천수효과로 인한 파고 증폭이 없고 구조물을 통과하며 에너지가 크게 감소된 영향으로 사료된다.

Fig. 11.

Runup heights of solitary wave after passing over a fixed floating rectangular obstacle.