2.1 분석 자료

수면변동자료는 파랑 변수를 산정하기 위한 가장 기본적인 관측자료로서, 본 연구에서 사용한 관측장비는 Fig. 1과 같이 서해안에 위치한 HeMOSU-1(Herald of Meteorological and Oceanographic Special research Unit-1) 기상타워 (E126º07'45'', N35º27'55'')에 설치된 Waveguide 관측장비를 이용하였다(Lee et al., 2021a). Waveguide 파랑 관측 장비는 5 Hz(0.2 s) 간격으로 수면변동자료를 수집하며, 관측 기간은 2013. 07.~2014. 07.(결측 제외, 약 7개월 자료)이다. 관측자료의 결측은 장비의 시스템 결함 및 유지보수 기간으로 인하여 발생하는 것으로 사료된다. 또한 Waveguide 장비는 1996년 Delft에 의해 개발된 장비로, 파고 및 파향 관측이 가능하며, 기상타워 플랫폼에 설치되어 Waveguide 서버에 의하여 조정되며 자료는 원격장치에 의하여 전송된다. Waveguide는 관측 장비 내 파랑 분석 프로그램인 SWAP(Standard Wave Analysis Package) 방법이 적용된다(Hoekstra et al., 1994). SWAP 방법은 10% 코사인 윈도우(Cosine Window)를 통해 관측 자료를 보정한 후, FFT(Fast Fourier Transform)을 이용하여 주파수 영역에서의 스펙트럼 분석법을 수행하여 1분 간격으로 파랑 변수를 산정하게 된다.

Fig. 1.

Location map of HeMOSU tower in the west coast of Korea.

2.2 분석 방법

파랑 스펙트럼 분석은 시간영역과 주파수 영역에서 이루어진다. 시간 영역에서는 1) 관측자료의 추세제거를 위한 영점 보정, 2) 주파수 간격의 정수배가 아닌 영역에서 발생하는 에너지 손실(leakage)을 최소화하기 위한 데이터 윈도우, 3) 특정 주기 영역을 제거하기 위한 데이터 필터 방법이 적용되며, 주파수 영역에서는 고속 퓨리에 변환(FFT, Fast Fourier Transform), Periodogram 등을 이용한 시간영역에서 주파수 영역으로 변환을 위한 분석이 수행된다. 시간 영역에서의 분석 과정은 그 과정이 매우 정형화되어 있고 간단하지만, 주파수 영역에서의 해석은 시간 영역에서의 분석 과정보다 보다 복잡하기 때문에 더 정교한 분석이 이루어져야 한다. 일반적으로, 파랑 변수 산정은 주파수 영역에서의 분석을 통해 추정되는 스펙트럼의 면적과 최대 에너지밀도에 해당하는 주파수를 이용하여 수행된다. 그러나, 추정 스펙트럼의 경우 각각의 값에 대한 신뢰구간이 매우 크기 때문에 추정값에 대한 불확실성 문제가 발생할 수 있으므로 이에 대한 추가적인 분석이 필요하다.

관측자료의 보정을 통해 산정된 시계열 자료에 대하여 주파수 영역에서의 해석을 위해 일반적으로 고속 퓨리에 변환을 주로 사용하지만, 본 연구에서는 분석하고자 하는 자료의 개수를 N = 2ⁿ개로 한정하지 않고 유동적으로 선정하기 위해 퓨리에 계수를 산정하여 주파수 영역으로의 변환이 가능한 Periodogram 기법을 적용하였다. 이후, 편향-분산 트레이드 오프 이론이 적용되는 데이터 평활화 기법을 적용하였다.

본 연구에서 적용한 평활화 기법은 식(1)과 (2)의 스펙트럼 밀도(I_k)를 추정한 후, 평활화 함수(가중치) ψ_j를 산정하여 수행되었다.

여기서, C_p는 추정 스펙트럼 에너지 밀도의 손실에 대한 보정 계수이다. 식(2)를 통해 산정된 스펙트럼에 대하여 평활화는 다음 식을 이용하여 산정할 수 있다.

여기서, n은 평활화 개수를 나타내며, ψ_j는 평활화 함수(필터)를 나타낸다. 상기식 ψ_j에서 ψ₁은 장방형 필터, ψ₂는 삼각 필터, ψ₃는 포물선 필터이며, 본 연구에서는 계산의 복잡도 및 시간을 고려하여 ψ₂인 삼각 필터를 통해 분석을 수행하였다(Lee et al., 2021b). 그러나, 복잡한 분석 과정에서 적용되는 처리 방법에 따라 에너지 레벨이 입력값과 약간의 오차가 발생할 수 있으며, 이를 확인하는 검증 단계가 필수적이다(Goda, 2010). 본 연구에서는 스펙트럼 분석 방법에 대한 검증을 위하여 시간 영역에서의 에너지 총량과 주파수 영역에서의 파형의 분산값이 같음을 나타내는 Parseval 이론을 이용하였으며(Brigham, 1988), 다음 식 같이 표현할 수 있다.

한편, 스펙트럼을 적용하는 경우, 자료의 개수(N)은 1, 2, …, N/2로 제한되며, Δt가 결정되면, 스펙트럼을 해석할 수 있는 최대 주파수(Nyquist frequency)는 f_N = 1/(2Δt)로 표현이 가능하며, 이에 해당하는 비율을 고려하여 계산을 수행한다. 또한, 스펙트럼의 면적을 나타내는 파형의 분산값(η_rms)과 관측 자료의 에너지 총량(m₀)은 다음 식으로 표현이 가능하다.

여기서, Δf는 주파수 간격으로서 Δf = 1/(NΔt)로 표현이 가능하다.

3.1 파랑 변수 산정 결과 검증

본 연구에서 수행한 파랑 스펙트럼 분석 결과에 대한 검증을 위한 방법으로 식(7)과 같이 파형의 분산값(ηrms2)과 관측 자료의 에너지 총량(m₀)이 같음을 의미하는 이론을 이용하였다. 두 변수에 대한 상관 분석을 수행한 결과 두 변수 사이의 상관계수(CC)는 0.9994로 나타났으며, 이를 통해 통계적으로 두 변수에 차이가 없음을 확인하였다. 이러한 결과는 본 연구에서 적용한 파랑 스펙트럼 분석 방법을 이용하여 산정된 파형의 분산값과 관측 자료의 에너지 총량의 상관성이 높으며, 산정값이 거의 같음을 확인하였다(Fig. 2 참조).

Fig. 2.

Comparative analysis of m0-ηrms2 using Parseval’s theory.

3.2 평활화 영향 검토

관측 자료를 통해 산정되는 파랑 스펙트럼 정보는 추정 정보(S^(f))이며, 이러한 파랑 스펙트럼은 주파수에 따른 변동이 심하고, 기본 해상도(Δf = 1/(NΔt)) 조건에서 추정되는 스펙트럼의 신뢰구간(CI, Confidence Interval)은 매우 크다. 신뢰구간이 매우 크다는 의미는 신뢰구간의 범위가 넓다는 뜻으로서, 통계적으로 신뢰구간이 넓을수록 모수를 포함할 확률이 높아지지만, 이는 모수의 값에 대한 정보가 약함을 의미한다. 일반적으로 신뢰구간을 추정하는 경우, 식(9)와 같이 95% 카이스퀘어(Chi-Square) 분포를 통한 신뢰구간이 이루어지며, 이 때 2자유도의 카이제곱 값 n개의 합이 되기 때문에 자유도가 2n인 카이제곱분포를 따르는 현상을 고려하여 본 분석을 수행하였다(Goda, 2010; Thomson and Emery, 2014).

스펙트럼 값이 최대가 되는 주파수를 첨두 주파수로 추정하는 과정에서, 신뢰구간을 고려하면 통계적으로 유의미한 차이가 없는 작은 차이(신뢰구간의 크기 보다 작은 차이)로 최대 스펙트럼 위치가 결정되는 경우, 적합한 첨두 주파수를 추정함에 오류가 발생할 수 있다. 스펙트럼 분석에서 중요한 추정 정보중의 하나에 해당하는 첨두 주파수 추정을 위해서는 최대 스펙트럼의 크기가 차순위 스펙트럼과 유의미한 차이를 보이는 수준에서 선택되어야 하며, 결국 신뢰구간의 크기를 줄이는 과정이 필요하다. 이를 위해서는 인접한 스펙트럼 자료를 이용하여 평활화하는 과정(smoothing)이 일반적이다. 이러한 과정을 거쳐 유의미한 차이를 보이는 최대 스펙트럼 정보 추정이 가능하며, 그 최대 스펙트럼에 대응하는 첨두 주파수 추정이 가능해진다.

다음 Fig. 3에는 H_s= 4.07 m, T_p= 12.59 s의 파랑 스펙트럼에 대하여 평활화를 적용했을 때 신뢰구간 변화를 제시하였다.

Fig. 3.

Change in confidence interval (CI) of observed spectrum and smoothing spectrum (95% Confidence Interval).

추정 스펙트럼의 신뢰구간을 산정한 결과, 추정 스펙트럼 에너지 밀도의 첨두 부분에 대한 신뢰구간 범위는 [46.65, 216.49]로 나타났으며, 평활화를 적용하여 산정된 스펙트럼 에너지 밀도의 신뢰구간 범위는 [12.24, 56.81]로 평활화를 적용하기 전에 비해 최대 약 26% 감소하는 경향을 보였다. 이처럼 전체적인 스펙트럼 정보는 평활화 정보를 이용하여 분석하고, 변동성분은 전체적인 변화 양상 성분에 대한 분산 비교 정도로 간주하여 해석한다.

HeMOSU-1 지점에서 발생하는 유의파고 범위에 따라 첨두주기 변화 양상에 대한 분석을 수행하였으며, 그 결과를 Fig. 4에 제시하였다.

Fig. 4.

Confidence interval and peak wave period change due to smoothing.

분석 결과, 유의파고 4.07 m인 경우, 추정 스펙트럼의 첨두주기와 평활화를 통해 산정된 첨두주기는 변화없이 11.87 s로 나타났다. 유의파고 3.01 m인 경우, 추정 스펙트럼의 첨두주기는 13.38 s, 평활화 스펙트럼의 첨두주기는 11.78 s로 나타났으며, 유의파고 11.14 m인 경우에는 11.14 s에서 10.54 s, 유의파고 1.00 m인 경우, 첨두주기는 7.20 s에서 8.31 s로 변화하는 양상을 보였다. 이는 유의파고가 낮아질수록 다중 첨두 발생 및 파랑 스펙트럼 에너지 밀도가 집중되지 못하는 등의 불안정한 스펙트럼 분포 형태로 첨두주기의 변화가 발생하는 것으로 사료된다. 한편, 추정 스펙트럼에 대하여 평활화를 수행하는 경우, 평활화 개수가 증가함에 따라 스펙트럼은 저주파 영역으로 치우치는 현상(Shifting)이 발생하며, 이는 적용되는 평활화 개수에 대한 자료 손실의 수치적인 영향으로 판단된다. 이러한 문제를 해결하기 위해서는 식(5)에 제시한 바와 같이 평활화의 개수(n)을 합리적으로 결정하는 것이 매우 중요하며, 이를 산정하기 위해 다음 식(10)과 같이 RMSE를 계산하여 오차가 가장 작게 나타나는 n을 산정하였다.

RMSE 산정을 위해 사용된 식(10)에서 S*(fk)는 기준 평활화 스펙트럼으로서 ‘R’ 프로그램에서 ‘lokern’ 패키지 내 ‘lokerns’ 함수를 이용하여 LPI(Local Plug-In) 기법이 적용되는 커널회귀(Kernel Regression) 평활화를 이용하였으며, N_s는 스펙트럼 자료의 개수를 의미한다. 여기서, LPI 기법이 적용된 이유는 파랑 스펙트럼의 형태는 이분산성의 형태(각 구간에 따른 분산에 큰 차이가 나는 분포 형태)를 띄고 있기 때문이다. 평활화 분석에서 쉽게 사용되는 DPI(Direct Plug-In)기법이 적용되지 않은 이유는, 대역폭 추정에 대한 문제가 해결되지 않기 때문이다. DPI 평활화는 평활화 하고자 하는 모든 부분에 대하여 하나의 대역폭을 계산한 후, 분석이 진행된다. 일반적으로 커널 회귀 추정에 있어 대역폭(Bandwidth)이 작으면 평활화가 과소 추정 될 수 있으며, 대역폭이 커질수록 평활화가 과대 추정되기 때문에(Lee et al., 2021b) 국소 영역에서 점 추정을 통해 모든 구간에서 정확한 평활화가 가능한 LPI 방법의 커널 회귀 방법을 선택하였다(Wand and Jones, 1994).

최적 평활화 개수를 산정하기 위해 HeMOSU-1 지점의 유의파고 4.00 m에 대하여 평활화 개수를 변화하며 계산한 RMSE 및 신뢰구간의 변화 양상을 Fig. 5에 제시하였다.

Fig. 5.

Variance pattern in RMSE and confidence interval for the number of smoothing.

분석 결과, HeMOSU-1 지점에서 가장 크게 발현하는 파고에 대하여 신뢰구간의 변화 양상을 분석한 결과, RMSE가 가장 작게 산정되는 평활화 개수는 9개로 나타났다. 이때 스펙트럼의 신뢰구간 범위의 변화(ΔS_CI)는 [0.98 142.69] -> [11.90 45.58], 주파수의 해상도 범위 변화(Δf_RE)는 [0.091 0.092] -> [0.07 0.08]로 나타났다. 이처럼 평활화는 스펙트럼 에너지 밀도의 신뢰구간 문제를 감소시키는 장점이 있지만, 주파수 해상도는 식(3)에 제시한 바와 같이 2n + 1만큼 감소하기 때문에 편향-분산 트레이드 오프 현상이 발생하며, 이에 따라 적절한 평활화 개수를 산정하는 것이 중요하다. 이와 같은 과정을 통해 산정된 적정 평활화 개수 결과는 Fig. 6과 같다.

Fig. 6.

Estimating the optimal number of smoothing for the significant wave height range for wave spectrum smoothing.

분석 결과, H_s > 4인 경우, HeMOSU-1의 적정 평활화 개수는 7개와 9개로 나타났으며, 3 < H_s < 4인 경우는 11개, 2 < H_s < 3인 경우는 11개로 산정됐다. 1 < H_s < 2의 유의파고 범위에서는 적정 평활화 개수가 15개로 나타났으며, H_s < 1 범위에서는 25개로 산정됐다. 평활화 개수는 유의파고가 작아짐에 따라 증가하는 경향을 보였으며, 이는 파랑 스펙트럼의 불안정한 분포로 인해 평활화를 적용함에 어려움이 있는 것으로 판단된다. 또한, 평활화를 적용함에 따라 평활화된 스펙트럼(S^(fk))과 추정 스펙트럼(S^(fk))에서 산정된 첨두주기의 분포 변화 양상을 분석하였으며, 이에 대한 결과를 Fig. 7에 제시하였다.

Fig. 7.

Peak wave period distribution change pattern according to smoothing method application. (a); correlation analysis result, (b); Probability density distribution analysis result.

평활화에 의한 첨두주기의 영향을 검토하기 위해 선형 상관관계를 수행한 결과(Fig. 7(a) 참조), 상관계수(CC)는 0.829로 나타났으며, 통계적으로 유의미한 상관관계를 보였다. 또한, 대부분의 주기는 약 4~6초 사이에 주로 분포하는 것으로 나타났다. 평활화의 유무에 따른 첨두주기의 밀도 분포 변화 양상은 Fig. 7(b)에 제시한 바와 같이 평활화의 영향으로 귀무가설이 기각됨에 따라 유의미한 차이가 발생하였다(p-value < 0.05).

상기 분석된 결과를 이용하여 유의파고-첨두주기(H_s - T_p) 사이의 관계 곡선을 도시한 후, 평활화 영향 검토를 추가로 수행하였다(Fig. 8 참조). Fig. 8(b)는 파랑 관측 장비인 Waveguide에서 산정된 결과이며, Fig. 8(a)와 전반적인 경향은 유사하지만, 두 결과의 가장 큰 차이는 산정되는 첨두주기의 간격이다. 이는 파랑 스펙트럼 분석을 수행할 때, Δt에 따라 결정되는 최대 주파수(f_N, Nyquist Frequency)에 차이로 사료된다. SWAP 방법을 통해 산출되는 주파수 간격은 Δf_SWAP = 0.010 Hz이며, 본 연구에서 사용한 방법을 통해 산출되는 주파수 간격은 Δf_{this study} = 0.0017 Hz로 약 10배 차이를 보이고 있기 때문에 산출되는 첨두주기 간격에 대한 차이가 발생하는 것으로 나타났다. 파랑 스펙트럼 분석을 통해 파랑 변수를 산정할 때 주파수 간격(Δf)의 정수배(nΔf) 영역에 해당되는 주기가 산정되기 때문에 주파수 간격이 작을수록 더 다양한 주기가 계산된다. 이를 통해 보다 정확한 결과값을 제시할 수 있으며, 본 연구에서는 주파수 영역에서 발생하는 에너지 손실(leakage)과 같은 문제를 해결하기 위해 시간-주파수 영역에서 충분한 보정을 수행하였기 때문에 SWAP 방법을 통해 산정된 결과보다 정확도가 우수한 것으로 사료된다.

Fig. 8.

Variance in significant wave height - peak wave period distribution for analysis method.