파고 정보를 이용한 설계주기 추정
Design Wave Period Estimation Using the Wave Height Information
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Abstract
재현기간에 따른 설계주기 추정에는 일반적으로 파고-주기 관계곡선을 이용한다. 본 연구에서는 설계주기 추정을 위한 파고-주기 관계곡선의 매개변수를 선형, 로버스트 선형, 비선형 함수를 이용하여 추정하고 그 계수를 비교-평가하였다. 매개변수 추정에 사용한 자료는 해양수산부(2019) 설계파고 추정에 사용한 연 최대 파고-주기 자료이며, 태풍, 비태풍 조건으로 구분하여 매개변수 추정에 이용하였다. 추정 매개변수는 해역의 지점에 따라 뚜렷한 차이를 보였으며, 추정기법의 경우에는 태풍 조건의 자료의 경우 비선형과 선형 기법이 큰 차이를 보이고 있는 것으로 파악되었다. 또한 SPM 공식과 GODA 공식을 평균하여 추정하는 Suh et al.(2008, 2010) 제안 방법은 절편 매개변수는 과소추정, 경사 매개변수는 과대 추정하는 것으로 파악되었으며, 해역의 국지적인 특성 반영에는 한계가 있는 것으로 판단된다.
Trans Abstract
The wave height and period regression curve is widely used to estimate the design wave period. In this study, the parameters of the curves are estimated, compared, and evaluated using the linear, robust linear, and nonlinear regression methods, respectively. The data used in the design wave height estimation are the annual maxima (AM) wave height and period data sets divided by typhoon and non-typhoon conditions, provided by the Ministry of Oceans and Fisheries (2019). The estimation parameters show significant differences in the local coastal waters and the estimation methods. The estimation parameters based on the Suh et al. (2008, 2010) method show the apparent bias, under-estimation in the intercept (scale) parameter, and over-estimation in the slope (exponent) parameter, respectively.
1. 서 론
어떤 한 지점의 파랑 자료는 파고(유의파고), 주기(첨두주기), 파향 항목으로 구성되는 벡터 형식의 시계열(time-series) 자료이며, 방향으로 분류하는 경우 파고, 주기 세트의 자료를 파랑자료로 간주한다. 풍파의 경우 파고와 주기는 일반적으로 양의 상관관계를 가지고 있으나, 너울의 경우에는 작은 파고조건에서도 긴 주기를 가지는 경우가 발생한다. 그러나 해안 구조물의 설계에 이용되는 설계파고 조건은 재현기간이 50~100년 정도에 상응하는 파고를 대상으로 하기 때문에 매우 높은 파고 조건에 해당하며, 설계주기도 그 파고에 종속된 경우로 가정하여 적절한 함수를 가정하고 매개변수를 추정하여 계산한다. 따라서 일반적인 설계주기 추정 절차는 설계파고의 추정과 설계파고의 관계공식을 이용한 설계주기 추정 절차가 일반적이다.
본 연구에서는 연 최대(AM, annual maxima) 파고정보를 이용하여 설계 주기를 추정하는 방법을 비교·평가하는 것을 목적으로 한다. 더불어 설계주기 추정 함수로 널리 이용되는 함수의 매개변수의 분포 양상 검토를 수행하고, 자료 기반의 합리적인 제약사항 반영 기법도 제안한다.
일반적으로 널리 이용되는 파고-주기 관계 함수는 다음과 같은 멱(冪, 덮을 멱) 함수, 또는 거듭제곱함수라는 용어를 사용하고 있으나, 다소 생소하고/어려운 한자이기 때문에 이하 “Power 함수” 용어를 영문 포함하여 직접 사용한다.
Power 함수의 매개변수 추정은 다음과 같은 선형 변환과정을 통하여 간단하게 추정할 수 있다.
여기서, LT = lnTp , LH = lnHs, a = lnα, b = β 조건에서 선형회귀분석 문제가 되고, 매개변수는 각각 절편(intercept, scale, α) 매개변수, 경사(slope, exponent, β) 용어로 구분한다.
Power 함수 형태를 그대로 이용하는 경우, 풀이 방법은 보다 복잡해지지만 변수의 변동 특성을 그대로 유지하는 비선형(non-linear) 최적화 문제를 푸는 방법으로 매개변수 추정도 가능하다. 그러나 파고-주기 관계함수 추정에 어떤 지점, 어떤(추출된) 자료를 이용하는 가에 따라 그 계수는 차이를 보일 수 있다. 따라서 파고와 주기의 관계함수를 이용하여 추정되는 매개변수는 추정에 사용한 파고-주기 자료의 지점과 조건(태풍, 비태풍; 연안격자, 내부격자)으로 구분된다.
파고와 주기의 상관분석에도 Power 함수 형태를 이용하여 분석하고 있다. 관측 자료를 이용한 분석은 낮은 파고, 특정해역으로 제한되지만, 다양한 분석 결과로 매개변수를 제시하고 있다. Lee et al.(2021)는 서해중부해역에 위치한 HeMOSU-1&2 자료를 이용하여 추정한 결과(α = 4.83, 4.49, β = 0.43, 0.46)를 제시하고 있으며, Jung et al.(2020)은 동해 연안에서 다양한 장비로 측정한 파고-주기자료를 이용하여 추정한 매개변수에 차이가 있음을 보고하고 있다. HF-레이더, 파고부이, AWAC, 기상청(KMA) 부이관측 장비의 경우, 각각 α = 6.58, 5.88, 6.01, 6.55; β = 0.18, 0.23, 0.23, 0.23 정도이다. 한편 Jeong et al.(2019)은 동해 중부해역의 파랑 관측 자료를 이용하여 추정한 매개변수로 α = 6.212, β = 0.323 수치를 제시하고 있다. Ahn et al.(2016)도 강릉연안의 파랑 후측자료를 이용하여 추정한 결과로, α = 7.0, β = 0.25 수치를 제시하고 있다. 이상의 기존 연구결과에서 볼 수 있는 바와 같이 파고-주기 파워 함수 매개변수는 해역에 따라 어느 정도의 유의미한 차이를 보이고 있음을 알 수 있으며, 우리나라 전체 해역을 대상으로 매개변수 변동양상을 분석한 연구는 Suh et al.(2008, 2010) 성과로 제한된다(Table 1 참조).
Summary of the power function parameters
한편 설계파고와 같은 높은 파고 영역에서 주기 계산은 Suh et al.(2008)은 Goda 공식(Goda, 2010)과 SPM 공식(U.S. Army Coastal Engineering Research Center, 1977)의 평균을 사용할 것을 제안하고 있다. 이 방법은 각각의 공식을 이용하여 설계주기를 계산하여 평균하는 방법, Suh 제안 방법(이하 Suh 방법)으로 간주한다. 그러나 SPM 공식이나 Goda 공식은 모든 파랑-주기 자료를 사용한 조건에서의 곡선은 파랑 자료가 존재하는 하한경계(lower limit) 경계(과소 추정)에 해당하는 것으로 판단된다. 따라서 설계파고를 이용하여 설계주기를 추정하는 과정은 가용한 연 최대 자료를 기반으로 추정하는 방법에 대한 정량적인 추가적인 비교-평가가 요구된다. 본 연구에서는 우리나라 모든 연안 해역을 대상으로 파고-주기 관계곡선의 매개변수를 추정-분석하고, 파고자료를 이용한 적절한 주기분석 기법 제안을 목적으로 한다.
2. 재료 및 방법
2.1 연 최대값(Annual Maxima, AM) 데이터
설계파고를 이용한 설계주기 추정과정에 이용되는 파랑자료는 해양수산부에서 연안 설계파고 추정에 사용한 연 최대파랑자료로 연안 210개 지점, 보다 연안에 근접한 310개 지점의 자료이다. 이 자료는 태풍과 계절풍(이하 비태풍) 자료로 구분되는 장기 후측(hindcasting) 자료이며, 파향 성분을 16 방향으로 구분한 자료이다. 태풍 자료의 경우에는 전체 59년(1959~2017년), 비태풍 조건의 경우에는 전체 35년(1979~2013년) 동안의 자료이다. 파고-주기 관계곡선 추정에 사용된 파랑자료의 위치는 다음과 같다(Fig. 1, MOF, 2019; Cho et al., 2020). 하나의 연안 격자지점 파랑자료는 모두 16 방향으로 구분되어 있으나, 파고-주기 관계곡선 추정 매개변수의 신뢰구간(오차구간)을 절감(사용되는 자료의 개수 증가)하기 위하여 모든 방향을 통합한 자료를 매개변수 추정에 사용한다. 이 경우 파고-주기 자료의 분산이 일정하다고 가정하면, 분석에 사용하는 파랑자료의 개수가 16배 증가하는 영향으로 절감되는 오차구간은 1/4 정도 수준으로 감소하게 된다.
Location map of the coastal grid and inner-coastal (inside) grid points (MOF, 2019; Cho et al., 2020).
2.2 설계주기 추정방법, Power 함수 매개변수 추정 방법
설계주기를 추정하는 방법은 Power 함수 매개변수 추정이 필수적인 절차로, 다음과 같은 절차를 따르는 경우가 일반적이다.
Step 1: 연 최대 자료 등을 이용하여 설계파고를 추정한다.
Step 2: 연 최대 파고-주기 자료를 이용하여 파고-주기 관계곡선을 추정한다(매개변수 추정).
Step 3: 추정 관계곡선을 이용하여 설계파고에 대응하는 설계주기를 계산한다. 종료.
이상과 같이 절차는 간단하지만, 추정의 핵심은 파고-주기 관계곡선(Power 함수)의 매개변수를 추정하는 과정이다. 본 연구에서는 일반적인 매개변수 추정 방법을 이용하는 경우와, 연 최대 자료의 낮은 파고영역에서 긴 주기를 보이는 자료의 영향을 배제하기 위하여 로버스트 회귀분석 기법을 제안한다. 로버스트 회귀분석은 R 프로그램 {MASS} 패키지에서 제공하는 rlm() 함수(Venables and Ripley, 2002)를 이용하여 수행하였다. 로버스트 회귀분석은 반복기법으로 IWRS(iterated re-weighted least squares, IWLS) 기법을 이용한다(Cho, 2019). 한 연안 격자 지점에서의 회귀곡선 매개변수 추정결과라 할지라도, 방향으로 구분된 자료를 이용하는 경우에는 16개 세트의 추정 세트가 얻어지지만, 추정에 사용한 자료개수 감소로 인한 오차구간이 크게 증가하기 때문에 한 지점의 매개변수는 16 방향의 자료를 모두 통합하여 추정하였다. 이 경우 개략적인 오차구간 감소 정도는 각각의 방향자료를 이용한 경우에 비하여 16배의 자료 증가 효과가 반영되어 1/4 정도로 감소한다. 매개변수 추정결과는 연안 210 + 310 = 520 정점에서 추정되기 때문에 각각의 변동양상 분석은 매우 비효율적인 분석으로, 본 연구의 경우에는 해양수산부에서 구분한 해역을 기준으로 수행한다(Fig. 2 참조).
Station (coastal grid points) numbers and the representative comparison eight station points in the divided coastal zones (MOF, 2019; Cho et al., 2020).
한편 이 방법과는 별도로 파고와 주기의 결합 확률분포함수(joint pdf.)를 이용하는 방법도 통계적으로는 가능하지만, 50~100년 정도의 재현기간에 해당하는 영역의 자료가 매우 희박하기 때문에 통계적으로 적절한 방법이라 할지라도 상당한 추정오차가 해당되기 때문에 본 연구 분석에서는 제외하였다. 매개변수 추정 결과는 각각의 지점에 대하여 태풍, 비태풍 조건에서 수행하였으며, 추정 결과는 Fig. 2의 해역구분 기준을 이용하여 비교-분석하였다. 결합 확률분포를 이용하는 경우에는 분포함수에 대하여 동일한 확률 contour line 도시가 가능하기 때문에 재현기간에 따른 파고-주기 contour-line 정보가 결과로 제시된다. 그러나 재현기간에 해당하는 확률은 분포의 꼬리부분에 해당하는 매우 작은 확률 영역이고, 가용한 자료의 개수도 매우 적기 때문에 신뢰구간에 대한 평가가 수반되어야 한다.
2.3 매개변수 추정 방법
선형회귀모형은 Power 함수에 로그변환을 적용하면 선형 함수로 간단하게 변환되기 때문에 별도의 추정과정 제시는 생략한다. 로버스트 회귀모형은 잔차의 크기에 따라 가중계수를 차등 부여하여 반복-추정하는 방식으로, 추정 함수에서 크게 벗어나는 자료의 영향을 줄이는 매개변수 추정 방법이다. 한편 비선형회귀모형의 경우에는 최소자승법 기반의 비선형 최적화 함수를 이용하여 추정하는 방법도 가능하다. 두 방법 최적 매개변수 추정에 사용하는 방법이지만, 보다 구체적인 방법은 부록의 수식을 참조한다.
본 연구에서는 nls() 함수를 이용하는 방법을 이용하여 매개변수 추정을 수행하였으며, 비선형함수의 최적 매개변수 추정함수 적용을 위한 초기가정(initial guess)은 α =
2.4 Suh 방법의 주기 추정 공식
Suh et al.(2010) 논문에서는 파고 자료를 이용하여 주기를 추정하는 방법으로 SPM 공식과 Goda 공식의 평균 방법을 제안하고 있다. 두 공식의 평균이 되는 하나의 실질적인 근사 수식은 다음과 같이 추정되며(Fig. 3 참조), 이하 Suh 방법으로 기술한다.
Comparison plot of the SPM, Goda, and mean functions (Suh et al. method) (blue line = Goda formulae, orange line = SPM formulae, and pink line = mean function).
3. 매개변수 추정 결과
파고-주기 자료의 관계를 표현하는 Power 함수의 매개변수를 추정한 결과는 다음과 같다. 회귀계수 추정결과는 다음과 같이 분류하여 제시한다.
Case 1: 선형변환 - 단순(simple) 선형 회귀모형 매개변수 추정
Case 2: 비선형 회귀분석모형 매개변수 추정결과
Case 3: 선형변환 - 로버스트 선형회귀모형 매개변수 추정
Case 4: Case 2 로버스트 회귀분석 결과에서 지수 매개변수(β) 범위 제한.
Case 4 조건의 범위 제한은 몇몇 지점의 비현실적인 주기 추정 결과를 제시하는 경우를 제거하기 위하여 해양수산부(MOF, 2019) 설계주기 추정과정에서 경험적인 판단에 근거하여 강제로 [0.2, 0.8] 범위로 제한한 경우이다. 그러나 전반적으로 특정한 소수의 경우를 제외하고는 추정 매개변수가 이 범위에 포함되기 때문에 이 경우에 대한 특별한 분석 및 토론은 제외한다. 계산 결과에 대한 다양한 조건 구분에 따른 결과는 다음과 같이 구분한다(Table 2 참조).
Estimation case code based on the data and methods
매개변수 추정방법에 따른 자료 적합 곡선은 대표지점을 선정하여 제시한다. 대표지점은 해역, 자료유형(태풍(TP), 비태풍 = 계절풍(MS) 조건으로 구분)으로 구분하여 연안 격자(Data cases code: -210 in Table 2)는 11, 118, 178, 210 지점(Fig. 2 참조)을 선택하고, 보다 육지에 근접한 내부 연안 지점(Data cases code: -310 in Table 2)은 11-5, 118-2, 178-1, 210-1 지점(Fig. 2 참조)을 선택하였으며, 그 적합곡선은 Fig. 4와 같다. 분석에 사용한 대표지점의 정확한 위치 좌표는 Table 3과 같다.
Hs-Tp data scatter plot and fitting-curves by the regression methods (red = linear transformation curve fit (Case 1, SL), blue = nonlinear fitting curve (case 2, NL), green = robust linear transformation regression curve (Cases 3 and 4, RL, RL/C), black = SPM + Goda mean curve = Suh method).
Location coordinates of the sample stations
매개변수추정은 다양한 조건(Table 2)에서 수행하였으며, 그 결과는 그림으로 제시한다. Power 함수의 α, β 매개변수 추정결과를 해역, 데이터 유형, 추정방법으로 구분하여 비교평가를 수행하였다. 추정 방법 비교는 전통적인 선형(변환) 회귀분석(Simple LR, 그림의 수평축) 기법을 기준으로 로버스트 회귀분석(Robust LR, 그림의 수직축)과 비선형 회귀분석(Power function NLR, 그림의 수직축)과의 차이 비교를 수행한다(Fig. 5 참조). 매개변수는 하나 하나의 지점을 대상으로 각각 추정하였으며, 추정 매개변수는 어떤 한 지점의 파고-주기 특성 변수로 간주할 수도 있다. 모든 연안 격자 지점에서 추정한 매개변수는 해양수산부 해역구분(Fig. 2 참조)을 기준으로 구분하여 제시한다(Fig. 6 참조).
Parameters scatter plot of the estimation methods (upper panel = simple linear regression (case 1, SL) vs. robust linear regression (case 3, RL), lower panel = simple linear regression vs. power function non-linear regression, Power function NLR; left panel = intercept parameter, right panel = slope (exponent) parameter).
Estimation parameter change pattern (Roman numbers, I, II, ..., VII = Coastal Division numbers in Fig. 2: Left region of the vertical red line = 210 coastal grid points from 1 to 210 (horizontal axis) in Fig. 2; Right region of the vertical red line = 310 inner (coastal) grid points from 1 to 310 (horizontal axis) in MOF (2019); estimation method = linear regression method). Result codes = (a) SL_MS_0, SL_MS_1, (b) SL_TP_0, SL_TP_1.
해양수산부 보고서(MOF, 2019)에 제시된 연안격자는 1-210 범위의 일련번호로 부여되어 있으며, 내부 격자 번호는 “-” 기호를 이용하여 연안 격자번호에 종속된 번호를 부여하고 있으나, 순서대로 전체 310개 지점에 일련번호를 부여하여 처리하였다. 연안 격자와 내부 격자를 모두 통합하는 경우에는 210번 이후 번호를 부여하여 전체 1-520(= 210 + 310) 범위의 일련번호를 사용한다. 각각의 일련번호에 대한 해양수산부 구분 지점 번호표는 다음과 같다(Table 4 참조).
Station (grid) numbers in the divided coastal zones and the assigned sequential numbers of the Inner-coastal grid numbers (Cho et al., 2020; MOF, 2019)
(a) Range of the sequential numbers of the grid points in each divided zone
(b) Assigned sequential numbers of the Inner-coastal grid points
4. 토 론
4.1 Power 함수 적합 곡선
Power 함수의 적합 정도는 비태풍, 태풍 조건에서 자료와 추정 곡선의 도시(Fig. 4)로 분석이 가능하다. 그림에서 볼 수 있는 바와 같이, 일반적으로 좁은 영역에 파고-주기 자료가 밀집되어 있으며, 소수의 자료가 너울 영역(낮은 파고, 긴 주기 영역)과 고파 영역(높은 파고, 긴 주기 영역)을 차지하고 있다. 이러한 양상은 태풍, 비태풍 조건 모두 유사한 양상을 보이고 있음을 알 수 있으나, 좁은 영역의 자료 밀집정도는 차이를 보이고 있다. 이런 양상은 비태풍 조건과 태풍 조건의 자료에서 추정 곡선의 차이로 설명이 가능하다. 비태풍 조건의 경우에는 비선형 함수 적합곡선이 다른 방법의 추정곡선과 유사한 변화 양상을 보이고 있으며, Suh et al. 제안 공식은 모든 파고구간에서 낮은 영역을 차지하고 있다. 반면, 태풍 조건에서는 비선형 Power 함수 곡선이 다른 추정 기법과 상당한 차이를 보이고 있다(Fig. 4(b) 태풍 조건 11, 11-5,118, 178, 210 정점). 그러나 고파 영역에서는 Suh 방법의 추정도 적절한 수준으로 판단된다. Suh 방법은 본 연구에서 수행한 매개변수 추정결과의 지점 차이 반영에는 한계가 있다고 판단되나, 해역의 전체적인 특성을 반영한 고파영역의 주기를 추정하는 “어림(approximation)” 공식으로 적절하다고 판단된다. 또한 파고-주기 자료의 분포 양상을 보면 하나의 최적 곡선으로 추정하는 방법보다는 일정 범위를 가지는 구간추정 또는 contour line 정보로 제시되는 형태의 추정이 자료의 분포 및 변동 특성을 보다 적절하게 반영할 수 있을 것으로 판단된다.
4.2 매개변수 추정방법에 따른 영향
매개변수 추정방법 차이는 비태풍 조건에서는 이미 큰 차이를 보이지 않는 것으로 파악되었다. 보다 깊은 분석을 위하여 추정 방법에 따른 추정 매개변수 산포도(scatter plot) 방법을 이용한다(Fig. 5 참조). 그림에서 볼 수 있는 바와 같이 단순 선형회귀 분석과 로버스트 회귀분석 결과는 몇몇 소수 지점을 제외하고는 차이는 미미한 수준으로 판단된다. 반면 비선형 함수를 이용한 추정과 비교하는 경우, 태풍 조건의 경우, 그 차이가 상당한 수준으로 파악된다. 단순 선형회귀 모형추정과 비선형 함수 추정의 양상 차이는 설계주기 추정을 위한 매개변수 선택과정에서 어려운 선택 절차가 포함된다. 일반적으로 비선형 함수 매개변수 추정은 제한되기 때문이지만, 비선형 회귀모형의 장점을 고려할 필요가 있다. 더불어 파고-주기의 산포 정도를 감안하면, 하나의 곡선으로 추정하는 방법에 근본적인 한계가 있는 것으로도 판단할 수 있다. 현재는 하나의 곡선을 이용하는 방법이 널리 이용되고 있으나, 이 방법을 이용하여 주기를 추정하는 경우, 추정 주기의 오차구간(신뢰구간) 추정이 요구된다.
4.3 매개변수의 공간 변화 양상
추정 매개변수의 공간변화 양상은 전통적인 선형 회귀모형 추정 기법의 결과를 기준으로 분석하였다. 그리고 사용한 자료는 태풍, 비태풍 조건으로 구분하였으며, Suh et al. 공식에서 제시한 매개변수를 기준으로 분석을 수행하였다. 그림(Fig. 6)에서 볼 수 있는 바와 같이, 비태풍, 태풍 조건 모두 절편 매개변수는 전반적으로 기준보다 높은 수치로 추정되고 있다. 절편 매개변수는 파고 = 1.0(m) 조건에 해당하는 주기에 해당하기 때문에, Suh 제안 공식을 이용한 공식은 낮은 파고의 주기를 과소추정하게 된다. 반면 경사(지수) 매개변수는 전반적으로 기준보다 낮은 수치로 추정되고 있다. 이는 파고 증가에 따른 주기 증가 비율이 Suh 제안 공식을 이용하는 경우, 과대추정이 예상된다. 전체적인 이런 예상과 더불어 다양한 해역에서 수행한 선형 자료 분석 결과와 본 연구의 분석 결과를 종합하면 Power 함수 매개변수는 해역의 다양한 특성이 반영되어 지수가 결정되기 때문에 어떤 넓은 해역을 대표하는 지수 사용은 한계가 있다.
한편 추정 매개변수의 공간변화도 인접한 해역이라 할지라도 공간변화 정도가 매우 크고, 해역의 수치 범위도 매우 크기 때문에 넓은 범위의 매개변수 제시는 가능하나, 구체적인 수치 제시는 부적절한 방법으로 판단된다. 관심을 가지는 해역, 주기 추정이 필요한 해역에서는 그 지점의 자료를 이용하여 추정하는 절차를 따르는 것이 바람직하다고 할 수 있다. 동일한 지점에서의 매개변수 시간변화 양상도 예상되는 경우에는, 가용자료를 시간으로 구분하여 매개변수 변화 양상을 검토할 필요도 있으나, 본 연구 범위를 벗어나고, 가용한 장기 자료 부족으로 분석에서 제외한다.
5. 결론 및 제언
본 연구에서 수행한 추정 매개변수의 다양한 분석으로부터 다음과 같은 결론과 향후 연구 방향을 제안한다.
1. Suh 방법에서의 제안공식은 일반적인 파고-주기 매개변수의 기준으로는 적절하나, 어떤 특정 해역의 주기 추정에는 한계가 있다. 파고-주기 관계 Power 함수의 매개변수는 해역 특성을 반영하기 때문에 파고 자료를 이용하여 주기를 추정하기 위해서는 그 해역의 특성이 반영된 매개변수를 이용하여 추정하는 방법이 바람직하다.
2. 태풍 조건에서 연 최대 자료를 사용하는 경우, 전통적으로 이용하는 선형 회귀분석기법과 비선형 함수 기반의 매개변수 추정 결과가 상당한 차이를 보이는 경우, 적절한 선택 기준이 제시될 필요가 있다. 본 연구에서는 파고, 주기 자료의 변환 과정이 없는 비선형 함수 기반의 매개변수 추정 기법을 제안한다. 더불어 파고-주기 분포범위가 매우 크기 때문에 향후 연구방향으로는 하나의 곡선을 이용하는 방법보다는 파고-주기 결합(joint) 확률분포를 이용하는 방법을 추천한다. 이 방법의 적용을 위한 장기 자료 확보와 일반적인 양상 분석 연구도 요구된다.
3. 파고-주기 관계를 표현하는 선형 변환과정 없이 직접 비선형 매개변수를 추정하는 공식을 부록에 제안하였다. 이 공식을 이용하는 경우, 두 개의 매개변수를 추정하여야 하는 기존의 방법보다는 간단한 지수 매개변수(β) 하나만을 추정하는 형식의 공식으로 보다 안정된 추정방법으로 판단된다. 다른 절편지수(α)는 앞서 추정된 지수 매개변수를 이용하는 양해(explicit) 형식의 공식으로 계산이 가능하다. 선형 회귀모형은 간단하고, 안정된 매개변수 추정의 장점이 있으나, 자료 변환 과정이 요구된다. 따라서 비선형 함수를 이용하여 매개변수를 추정하는 경우, 안정적인 추정이 보장되는 경우 자료의 속성을 유지한 조건에서 매개변수를 추정한다는 측면에서 비선형 함수를 이용한 방법으로 가장 적절한 방법으로 제안한다.
4. 파고-주기 관계 매개변수 추정은 가용한 자료를 이용하여 추정하기 때문에 관측 자료가 충분하지 못한 경우가 빈번하게 발생할 수 있다. 자료가 부족한 상태에서의 매개변수 추정은 통계적인 불확실성을 증가시키기 때문에 모델 자료를 이용하여 충분한 신뢰할만한 자료를 확보하여 추정할 필요가 있다.
Acknowledgements
본 연구는 독도의 지속가능한 이용 연구사업(PG-53502)의 지원을 받아 수행되었습니다, 연구비 지원에 감사드립니다. 또한 세세한 심사로 논문 보완에 도움을 주신 익명의 심사위원에게도 감사를 드립니다.
References
Appendices
Appendix
1. Parameter estimation formulae of the non-linear regression curve.
Power 함수의 선형변환 과정을 수행하지 않고, 최소자승법으로 직접 최적 매개변수를 추정하는 수학적인 절차 및 수식 유도과정을 제시한다. 비선형 함수의 최적화는 일반적으로 반복기법이 요구된다. 본 연구에서 유도한 공식은 경사(지수) 매개변수(β)를 추정하면, 절편 매개변수(α)는 간단한 explicit 형식의 수식으로 직접 계산된다. 따라서 하나의 변수에 대한 비선형 함수의 “해(solution)”를 구하는 반복 절차가 된다. R 프로그램에서 제시하는 nls() 함수는 두 개의 변수(α, β)에 대한 비선형 최적화 문제로, 추정 변수의 개수로 보면 아래 제시되는 과정은 보다 간단한 공식으로 간주된다. 수식은 손실 함수(L)의 정의에서 시작한다.
여기서, Hi, Ti (i = 1, 2, …, n) = 각각 (유의)파고, 첨두주기 자료, n = 자료의 개수, e = 추정오차(잔차, ei = Ti -
식(A.2), (A.3)를 각각 정리하면 다음과 같은 결과가 얻어진다.
식(A.5),
R 프로그램에서 제공하는 함수를 이용하는 경우, 하나의 매개변수(β) 추정으로 한정하는 경우, “해”가 존재라는 상한-하한 범위를 지정하여 양분법(bi-section method)으로 추정하는 uniroot() 함수를 이용하는 방법, 또는 수렴속도가 빠른 Newton-Raphson 알고리즘을 이용하는 nls() 함수를 이용할 수 있다.